Secondo teorema di Euclide
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In matematica, il secondo teorema di Euclide è un teorema della geometria euclidea che descrive una proprietà dei triangoli rettangoli. Esso può essere enunciato in due forme diverse, una che fa uso dei concetti dell'equivalenza tra figure piane, e una seconda che fa invece uso dei concetti della similitudine tra figure piane.
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[modifica] Enunciato con l'equivalenza
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
[modifica] Dimostrazione
Facendo riferimento alla figura, sia CL congruente e perpendicolare a CA e CR congruente a CH.
Si vuole dimostrare che il quadrato HPQB è equivalente al rettangolo RLMS.
Si consideri il triangolo rettangolo BCH e ad esso si applichi il teorema di Pitagora. Si ottiene che il quadrato CBDE è equivalente alla somma dei quadrati HPQB e CRSH.
Si consideri ora il triangolo rettangolo ABC, e ad esso si applichi il primo teorema di Euclide. Si ottiene che il quadrato CBDE è equivalente al rettangolo CLMH, ma tale rettangolo può essere considerato come la somma del quadrato CRSH e del rettangolo RLMS.
Allora la somma di HPQB e CRSH è equivalente alla somma di CRSH e RLMS, quindi, per differenza, HPQB è equivalente a RLMS. Q.E.D.
[modifica] Enunciato con la similitudine
In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura: CH:BH = BH:HA. In modo equivalente: BH2 = CH·HA.
[modifica] Dimostrazione
Si considerino i triangoli BCH e BHA. Dato che l'angolo HAB è complementare sia di ABH che di BCA, si può concludere che gli angoli ABH e BCA sono congruenti, e quindi i triangoli BCH e BHA sono simili per il primo criterio di similitudine. Si può quindi scrivere la proporzione CH:BH = BH:HA. Q.E.D.
