Primo teorema di Euclide
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In matematica, il primo teorema di Euclide è un teorema della geometria euclidea che descrive una proprietà dei triangoli rettangoli. Esso può essere enunciato in due forme diverse, una che fa uso dei concetti dell'equivalenza tra figure piane, e una seconda che fa invece uso dei concetti della similitudine tra figure piane.
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[modifica] Enunciato con l'equivalenza
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.
[modifica] Dimostrazione
Facendo riferimento alla figura, si consideri il triangolo rettangolo ABC. Sul cateto BC si costruisca il quadrato BDEC e sia CH la proiezione del cateto BC sull'ipotenusa CA. Si costruisca il rettangolo HCLM avente CL congruente a CA. Si prolunghi il lato ED dalla parte di D fino ad incontrare in F la retta contenente il segmento CL e in G la retta contenente il segmento MH. Si vuole dimostrare che il quadrato BDEC è equivalente al rettangolo HCLM.
Si considerino ora i triangoli ABC e CFE. Essi hanno:
- BC congruente a CE per costruzione,
- l'angolo ABC congruente all'angolo FEC perché retti,
- l'angolo BCA congruente all'angolo ECF perché entrambi complementari dello stesso angolo FCB.
Dunque, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli ABC e CFE sono congruenti, e in particolare si ha che CA è congruente a CF.
Si considerino il quadrato BDEC e il parallelogrammo FCBG. Essi hanno la stessa base CB e la stessa altezza DB (perché DE e GF appartengono alla stessa retta) e quindi sono equivalenti.
Si considerino il parallelogrammo FCBG e il rettangolo HCLM. Essi hanno basi congruenti (infatti FC è congruente a CA per dimostrazione precedente, e CA è congruente a CL per costruzione, quindi FC è congruente a CL per la proprietà transitiva della congruenza) e la stessa altezza (infatti FC e CL appartengono alla stessa retta, e così pure BG e MH), quindi sono equivalenti.
Allora, per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato BDEC è equivalente al rettangolo HCLM. Q.E.D.
[modifica] Enunciato con la similitudine
In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.
In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura: CA:BC = BC:CH. In modo equivalente: BC2 = CA·CH.
[modifica] Dimostrazione
Si considerino i triangoli ABC e BCH. Essi hanno tutti gli angoli congruenti (sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo in C in comune), e quindi sono simili per il primo criterio di similitudine. Allora si può scrivere la proporzione CA:BC = BC:CH. Q.E.D.
