Scattering Mie

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Lo scattering Mie, noto anche come scattering di Lorenz-Mie, è una soluzione completa e matematicamente rigorosa del problema dello scattering di un'onda elettromagnetica su di una sfera. La teoria che descrive questo tipo di scattering prende il nome dal fisico tedesco Gustav Mie che nel 1908 pubblicò per primo la soluzione completa ma l'attribuzione della scoprta è incerta dato che, oltre che a Mie, nello stesso periodo anche Peter Debye e Ludvig Lorenz proposero soluzioni analoghe.

[modifica] L'equazione vettoriale e l'equazione scalare

Lo scattering Mie è un problema vettoriale ovvero implica l'uso dei campi elettrici e magnetici nella loro forma completa. Se però definiamo una funzione scalare Ψ che soddisfa l'equazione delle onde

$\nabla^2 \psi + k^2 m^2 \psi$

(dove m è l'indice di rifrazione e k è il numero d'onda) possiamo prendere un vettore M tale che

$\mathbf{M} = \nabla \times ( \mathbf{r} \psi )$

(dove r è il vettore raggio) allora (in coordinate sferiche) anche M e $\mathbf{N} = \frac{\nabla \times \mathbf{M}}{k}$ soddisfano la stessa equazione delle onde.

Possiamo quindi risolvere lo scattering Mie per un'onda scalare e recuperare i due campi vettoriali che ci interessano successivamente.

[modifica] Le soluzioni dell'equazione d'onda e le condizioni al contorno

In coordinate sferiche l'equazione d'onda è separabile ed ha soluzioni del tipo

$\psi_{n,l} = \cos l\phi P_n^l (\cos \theta ) z_n (m k r )$ e $\psi_{n,l} = \sin l\phi P_n^l (\cos \theta ) z_n (m k r )$

dove n ed l sono dei numeri interi, $P_n^l$ sono polinomi associati di Legendre e $z n$ sono le funzioni di Bessel sferiche.

Imponendo le condizioni al contorno sulla superficie della sfera ed introducendo il parametro $x = \frac{2 \pi a}{\lambda}$ si ottengono i coefficienti di scattering:

$\begin{matrix} a_n = \frac{\psi_n^\prime (mx) \psi_n (x)-m \psi_n (mx) \psi_n^\prime (x)}{\psi_n^\prime (mx) \zeta_n (x) - m \psi_n (mx) \zeta^\prime (x)} \\ \\ b_n = \frac{m \psi_n^\prime (mx) \psi_n (x)- \psi_n (mx) \psi_n^\prime (x)}{m \psi_n^\prime (mx) \zeta_n (x) - \psi_n (mx) \zeta^\prime (x)} \\ \end{matrix}$

dove $ψ$ e $ζ$ sono le funzioni di Riccati-Bessel.

La sezione d'urto totale che si ottiene è:

$\Sigma = \frac{2 \pi}{k^2} \sum^{\infty}_{n=1} \left ( \left | a_n \right |^2 + \left | b_n \right |^2 \right )$ .

[modifica] Voci correlate

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