Matrice S

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Teoria dello scattering
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Fisica
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All'interno della teoria quantistica dei campi i problemi di scattering (ovvero degli urti fra particelle) non possono essere trattati in maniera esatta se non in alcuni casi semplici. Uno degli approcci più usati è invece quello di supporre che gli stati iniziali e finali in cui si trova il sistema siano autostati dell'hamiltoniana libera (ovvero la parte dell'hamiltoniana che non contiene i termini che descrivono l'interazione fra le particelle). In questa approssimazione (nota come approssimazione adiabatica) è possibile scrivere l'operatore che proietta lo stato iniziale su quello finale come una matrice, nota come matrice di scattering o matrice S.

[modifica] Definizione della matrice S

L'hamiltoniana che descrive un sistema può essere divisa in una parte non interagente $\hat{H}^0$ , che non contiene i termini di interazione fra le particelle ma ne descrive solo il moto libero, ed una hamiltoniana di interazione $\hat{H}^I$ .

In rappresentazione di Schrödinger vale l'Equazione di Schrödinger

$i \hbar \frac{\partial \left|\psi_S (t)\right\rangle}{\partial t} = H_S \left|\psi_S (t)\right\rangle$ .

Definiamo la rappresentazione di interazione come

$\left|\psi_I (t)\right\rangle = e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle$

e quindi possiamo scrivere

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left|\psi_I (t)\right\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left ( e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle \right ) = - H^0_S e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle + e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left|\psi_S (t)\right\rangle =$

$= - H^0_S \left|\psi_I (t)\right\rangle + e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle = -H^0_S \left|\psi_I (t)\right\rangle + H_S \left|\psi_I (t)\right\rangle = H^I_S \left|\psi_I (t)\right\rangle$

ovvero in rappresentazione di interazione gli stati evolvono segundo l'hamiltoniana di interazione.

[modifica] Definizione della matrice S

Definiamo gli elementi della matrice di scattering come

$S_{f,i} = \left \langle \psi_f | \psi ( t = + \infty ) \right \rangle = \left \langle \psi_f | S | \psi_i \right \rangle$ .

Per calcolare $S f, i$ riscriviamo in forma integrale l'equazione di Schrödinger per le funzioni d'onda in rappresentazione di interazione:

$\left|\psi_I (t)\right\rangle = \left|\psi_I (t = - \infty)\right\rangle - i \hbar \int_{- \infty}^{t} d \tau H_S^I \left ( \tau \right ) \left|\psi_I ( \tau )\right\rangle$ .

Dato che $\left|\psi_I ( \tau )\right\rangle$ soddisfa un'equazione analoga è possibile iterare all'infinito questa equazione fino ad ottenere (approccio perturbativo):

$\left|\psi_I (t)\right\rangle = \left [ 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dt_1 \int_{-\infty}^{t_1} dt_2 \int_{-\infty}^{t_2} dt_3 \ldots \int_{-\infty}^{t_{n-1}} dt_n \left ( H_S^I (t_1) \cdot H_S^I (t_2) \cdot H_S^I (t_3) \cdot \ldots \right. \right.$

$\ldots \left. \left. \cdot H_S^I (t_n) \right ) \right ] \left|\psi_I (t = - \infty)\right\rangle$

e quindi abbiamo che

$S = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dt_1 \int_{-\infty}^{t_1} dt_2 \int_{-\infty}^{t_2} dt_3 \ldots \int_{-\infty}^{t_{n-1}} dt_n \left ( H_S^I (t_1) \cdot H_S^I (t_2) \cdot H_S^I (t_3) \cdot \ldots \cdot H_S^I (t_n) \right )$ .

La matrice di scattering viene calcolata ai vari ordini (ovvero proseguendo la sommatoria fino ad un dato ordine) tramite il teorema di Wick.

[modifica] La sezione d'urto

Lo scopo finale del calcolo della matrice di scattering è ottenere la sezione d'urto (che è il parametro che può essere verificato sperimentalmente). La relazione fra la sezione d'urto e la matrice S è data da

$\operatorname {d} \sigma = \frac {\left | S_{fi} \right |^2}{T \left \| \vec J_{inc} \right \|} \operatorname {d} n_f$