Rappresentazione dei numeri complessi

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I numeri complessi hanno differenti rappresentazioni, tutte equivalenti. Essendo il campo dei numeri complessi $\mathbb{C}$ isomorfo a $\mathbb{R}^2$ ogni numero complesso è rappresentabile come un vettore nel piano complesso. Si tratta di scegliere il sistema di coordinate.

Indice

1 Rappresentazione cartesiana
2 Rappresentazione polare
3 Rappresentazione esponenziale
4 Rappresentazione matriciale dei numeri complessi

[modifica] Rappresentazione cartesiana

La rappresentazione cartesiana (o rettangolare) è quella più vicina alla definizione dei numeri complessi:

z = a + i b

con $a,b\in\mathbb{R}$ e $i$ l'unità immaginaria.

Questa non è altro che una generica combinazione lineare di elementi della base di $\mathbb{R}^2$ , $(1,0) = 1$ e $(0,1) = i$ con coefficienti reali a, b.

[modifica] Rappresentazione polare

Usare la rappresentazione polare dei numeri complessi significa usare le coordinate polari $(ρ,θ)$

$z=\rho\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)$

$ρ$ è il modulo del numero complesso, mentre $θ$ è la fase. La trasformazione dalle coordinate cartesiane è:

$\!\,\rho = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

[modifica] Rappresentazione esponenziale

Usando la formula di Eulero o equivalentemente la definizione di esponenziale complesso:

z = ρ e i θ

Questa è la notazione che viene più frequentemente utilizzata nella applicazioni.

[modifica] Rappresentazione matriciale dei numeri complessi

Le rappresentazioni alternative del campo dei numeri complessi possono dare una migliore comprensione della loro natura. Una rappresentazione particolarmente elegante interpreta ogni numero complesso come una matrice 2×2 di numeri reali che dilata/contrae e ruota i punti del piano. La matrice ha la forma

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix}$

con a e b numeri reali. La somma ed il prodotto di due tali matrici è ancora di questa forma. Ogni matrice non nulla di questa forma è invertibile ed il relativo inverso è ancora di questa forma. Di conseguenza, le matrici di questa forma sono un campo. Di fatto, questo è esattamente il campo dei numeri complessi. Ciascuna di queste matrici può essere scritta come:

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$

questa rappresentazione implica che il numero reale 1 va rappresentato con la matrice identità

$\begin{pmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix}$

mentre l'unità immaginaria i si rappresenta con la matrice

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$

che rappresenta una rotazione in senso antiorario di 90 gradi. Si noti che il quadrato di questa matrice è effettivamente uguale alla matrice $\begin{pmatrix} -1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; -1 \end{pmatrix}$ che rappresenta il numero reale -1.

Il valore assoluto di un numero complesso espresso come matrice è uguale alla radice quadrata del determinante di quella matrice. Se la matrice è considerata come la trasformazione di un punto nel piano, allora la trasformazione ruota i punti con un angolo uguale al coefficiente direzionale del numero complesso e scala il punto di un fattore uguale al valore assoluto del numero complesso. Il coniugato del numero complesso z corrisponde alla trasformazione che contrae/dilata i punti del piano del medesimo fattore di scala che z (il valore assoluto) e li ruota dello stesso angolo che l'argomento di z, ma nel senso opposto; quest'operazione corrisponde alla trasposta della tabella che rappresenta z.

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Categoria: Numeri complessi