Proiezione (geometria)
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In geometria esistono varie nozioni di proiezione: sono tutte funzioni fra spazi ispirate alle varie proiezioni cartografiche.
[modifica] Proiezione ortogonale
In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio S (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione che sposta ogni punto dello spazio su un punto di S lungo una direzione perpendicolare ad S.
Ad esempio, la proiezione del piano cartesiano sull'asse delle ascisse è la funzione
mentre la proiezione sulle ordinate è la funzione
Più in generale, se S è un sottospazio vettoriale dello spazio euclideo n-dimensionale 
, la proiezione ortogonale su S è definita nel modo seguente: sia
una base ortonormale per lo spazio euclideo, i cui primi k vettori sono una base per S. Scrivendo i vettori in coordinate rispetto a B, la proiezione su S è la funzione
[modifica] Somma diretta
In algebra lineare, la definizione di proiezione è estesa anche al caso in cui non ci sia un prodotto scalare, ma una somma diretta
di uno spazio vettoriale V in due sottospazi U e W. In questo caso, ogni vettore v si scrive in un modo solo come
- v = u + w
per qualche vettore u in U e w in W. La proiezione su U è definita semplicemente mandando ogni v nella sua componente u.
Non è però ben definita la proiezione di uno spazio vettoriale su un sottospazio U, se non è specificato un supplementare W.
[modifica] Operatore di proiezione
Le proiezioni f definite sopra sono tutte idempotenti, cioè
Per questo motivo, in algebra lineare e nella teoria degli operatori spesso un endomorfismo di uno spazio vettoriale idempotente è chiamato operatore di proiezione o più brevemente proiezione. Tra le proprietà fondamentali di questi operatori c'è la seguente:
- Se P1 e P2 sono due operatori che "si annullano a vicenda", cioè P1P2 = P2P1 = 0, allora la loro somma P = P1 + P2 è ancora un operatore di proiezione.
