Sottospazio affine

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Uno spazio affine è uno spazio vettoriale senza un punto di origine. Assegnando quindi un qualsiasi punto di riferimento, lo spazio affine diventa uno spazio vettoriale, per cui valgono tutte le proprietà degli spazi vettoriali: in particolare le nozioni di dipendenza e indipendenza lineare e di base. Poichè le nozioni di sottospazi vettoriali sono identiche a quelle affini si può limitare a considerare il sottospazio vettoriale affine $\mathcal{A}^3$ .

Ogni vettore dello spazio affine può essere rappresentato come $P - Q$ dove P e Q sono due punti dello spazio affine.

Indice

1 Dipendenza e indipendenza lineare
2 Equazioni parametriche e cartesiane della retta affine
3 Equazioni parametriche e cartesiane del piano affine
4 Posizione dei piani
5 Posizione delle rette nel piano
6 Voci correlate

[modifica] Dipendenza e indipendenza lineare

Possiamo dare un significato geometrico alla dipendenza e indipendenza lineare di vettori:

2 vettori dello spazio $\mathcal{A}^3$ sono linearmente dipendenti allora sono paralleli e viceversa.

3 vettori dello spazio $\mathcal{A}^3$ sono linearmente dipendenti allora sono complanari e viceversa.

Assegnamo quindi un punto $P 0 = (x 0, y 0, z 0)$ dello spazio affine, si chiama retta affine il sottospazio affine l'insieme dei punti:

$r : \{(x,y,z) | P_0 + t \vec v\}$

dove $\vec v$ è il vettore direzione della retta e $t \in \mathbb{R}$

Si chiama piano affine il sottospazio:

$\pi : \{(x,y,z) | P_0 + t \vec v_1 + s \vec v_2\}$

dove $\vec v_1 , \vec v_2$ sono vettori di giacitura non allineati del piano e $t, s \in \mathbb{R}$ .

Assumendo in un punto O una base $(\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)$ nello spazio affine ogni vettore è rappresentabile nella forma $\vec v = a_1 \vec v_1 + a_2 \vec v_2 + a_3 \vec v_3$ con $a_i \in \mathbb{R}$ che sono le coordinate del vettore.

In termini di coordinate due vettori $\vec w = (w_1 , w_2, w_3)$ e $\vec w' = (w'_1 , w'_2, w'_3)$ di $\mathcal{A}^3$ sono paralleli se e solo se:

$rg \begin{vmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ w'_1 & w'_2 & w'_3 \end{vmatrix} = 2$

In termini di coordinate tre vettori $\vec w = (w_1 , w_2, w_3)$ , $\vec w' = (w'_1 , w'_2, w'_3)$ e $\vec w'' = (w''_1 , w''_2, w''_3)$ di $\mathcal{A}^3$ sono complanari se e solo se:

$rg \begin{vmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ w'_1 & w'_2 & w'_3 \\ w''_1 & w''_2 & w''_3 \end{vmatrix} = 0$

[modifica] Equazioni parametriche e cartesiane della retta affine

Una retta affine $r : \{(x,y,z) | P_0 + t \vec v\}$ ha una rappresentazione parametrica:

$r: \begin{cases} x = x_0 + l t\\ y = y_0 + m t \\ z = z_0 + n t \end{cases}$

dove $\vec v = (l,m,n)$ sono i parametri direttori della retta.

Se invece di avere un punto e un vettore direttore abbiamo due punti $P 0 = (x 0, y 0, z 0)$ e $P 1 = (x 1, y 1, z 1)$ allora la retta ha equazioni parametriche:

$r: \begin{cases} x = x_0 + (x_1 - x_0) t\\ y = y_0 + (y_1 - y_0) t \\ z = z_0 + (z_1 - z_0) t \end{cases}$

dove $(x 1 - x 0) = l,(y 1 - y 0) = m,(z 1 - z 0) = n$

Per passare ad una rappresentazione cartesiana della retta sfruttiamo il fatto che il vettore $P - P 0 = (x - x 0, y - y 0, z - z 0)$ deve appartenere alla retta e la nozione di parallelismo ci dice che questo vettore e il vettore direttore devono avere:

$rg \begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ l & m & n \end{vmatrix} = 2$

e questo equivale ad un sistema di due equazioni lineari omogenee. In alternativa a risolvere il sistema possiamo eliminare il parametro t dalle equazioni parametriche e risolvendo le equazioni si ritrovano le equazioni cartesiane della retta.

La retta affine può essere rappresentata anche come intersezione di due piani, cioè come soluzione del sistema lineare:

$r: \begin{cases} ax + by + cz + d = 0 \\ a' x + b' y + c' z + d' = 0\end{cases}$

[modifica] Equazioni parametriche e cartesiane del piano affine

Una piano affine : $\pi : \{(x,y,z) | P_0 + t \vec v_1 + s \vec v_2\}$ ha una rappresentazione parametrica:

$\pi: \begin{cases} x = x_0 + l t + l' s \\ y = y_0 + m t + m' s \\ z = z_0 + n t + n' s\end{cases}$

dove $\vec v_1 = (l,m,n)$ e $\vec v_2 = (l',m',n')$ sono i vettori di giacitura non allineati del piano e $t, s \in \mathbb{R}$ .

Se invece di avere un punto e un vettore direttore abbiamo tre punti non allineati $P 0 = (x 0, y 0, z 0)$ , $P 1 = (x 1, y 1, z 1)$ e $P 2 = (x 2, y 2, z 2$ , allora il piano ha equazioni parametriche:

$\pi: \begin{cases} x = x_0 + (x_1 - x_0) t + (x_2 - x_0) s\\ y = y_0 + (y_1 - y_0) t +(y_2 - y_0) s \\ z = z_0 + (z_1 - z_0) t + (z_2 - z_0) s\end{cases}$

dove $(x 1 - x 0) = l,(y 1 - y 0) = m,(z 1 - z 0) = n$ e $(x 2 - x 0) = l',(y 2 - y 0) = m',(z 2 - z 0) = n'$ .

Per passare ad una rappresentazione cartesiana della retta sfruttiamo il fatto che il vettore $P - P 0 = (x - x 0, y - y 0, z - z 0)$ deve essere complanare al piano individuato dai vettori di giacitura e insieme alla nozione di complanarità si deve avere:

$rg \begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ l & m & n \\ l' & m' & n' \end{vmatrix} = 3$

e questo equivale ad un'equazione del tipo:

a x + b y + c z + d = 0

dove $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ .

In alternativa a risolvere la matrice possiamo eliminare i parametri t ed s dalle equazioni parametriche e risolvendo le equazioni si ritrovano le equazioni cartesiane del piano.