Problema di Apollonio/Tre rette

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È immediato concludere che questo problema non ha soluzioni nel caso in cui le tre rette assegnate siano incidenti in un punto oppure siano parallele tra loro.

Rimangono da esaminare due casi:

Le tre rette assegnate non sono incidenti in un unico punto, né sono e a due a due parallele

Le circonferenze soluzioni di questo problema sono quattro: la circonferenza inscritta nel triangolo individuato dalle tre rette $r$ , $s$ , $t$ e le tre circonferenze ad esso ex-inscritte.

Si cerchi innanzitutto di determinare i centri delle quattro circonferenze in questione; a tal fine si traccino le bisettrici di due degli angoli interni del triangolo di vertici A, B, C e si indichi con C1 il relativo punto di intersezione; si traccino inoltre le bisettrici dei tre angoli esterni, indicando con C2, C3, C4 i relativi punti di intersezione. A partire da questi quattro punti si traccino le perpendicolari ad un lato del triangolo ABC individuando i punti T1, T2, T3, T4. Le circonferenze cercate sono quella di centro C1 passante per T1, quella di centro C2 passante per T2, quella di centro C3 passante per T3, quella di centro C4 passante per T4.

Passo 1	Passo 2


Passo 3	Passo 4

Fra le tre rette assegnate ve ne sono esattamente due parallele fra loro

Le circonferenze soluzioni di questo problema sono due. Per individuarne i centri si tracci la retta $\,m\,$ parallela alle due parallele assegnate $\,r\,$ ed $\,s\,$ e passante per il punto medio M del segmento AB che ha come estremità le intersezioni delle due parallele con la terza retta $\,t\,$ ; si traccino poi le due bisettrici degli angoli formati dalle rette $\,t\,$ ed $\,s\,$ e si denotino con C1 e C2 i punti in cui esse intersecano la $\,m\,$ . Dai punti C1 e C2 si conducano inoltre le perpendicolari alla retta $s$ e si indichino con T1 e T2 i relativi punti di intersezione. Le due circonferenze soluzioni del problema sono quella di centro C1 passante per T1 e quella con centro in C2 passante per T2.