Problema delle monete

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In matematica, un problema delle monete è ciascuna classe di problemi della forma generale:

Si hanno solo certe monete da utilizzare, diciamo monete da sette-quatloo e da dieci-quatloo (il quatloo è una moneta presente in un episodio di Star Trek). Si possono avere di ciascun taglio quante monete si vogliano; si può fare il cambio esatto per ogni numero di quatloo, oppure si possono avere tutti i numeri da una certa quantità in poi? (Nell'esempio, non c'è modo di fare il cambio di otto quatloos, ma ogni numero più grande di Q53 può essere ottenuto.) Se è possibile, qual è la sua grandezza? (questo bisogno non riguarda solo le monete, ma la stessa domanda può essere posta per francobolli, scatole, o il numero di McNugget.)

Se tutte le monete sono un numero pari di quatloos, non si possono fare i cambi esatti per nessun numero dispari di quatloos; questo sarà vero anche se i tagli delle monete hanno come divisore comune tre o numeri più grandi. In un linguaggio più preciso si ha:

Dati n interi positivi: $a_1,a_2,\dotsb,a_n$ , il cui massimo comun divisore $\operatorname{MCD}(a_1,\dots,a_n)$ è 1, trova il più grande numero N che non può essere espresso come

$a_1x_1+a_2x_2+\dotsb+a_nx_n,$

per qualche intero non-negativo $x_1,x_2,\dotsb,x_n$ .

Se il massimo comun divisore non è uguale a 1 allora $N$ non esiste, poiché solo i multipli del MCD possono essere scritti come combinazioni lineari come sopra; ma se il MCD è 1, allora $N$ esiste. Il numero più grande trovato è chiamato a volte numero di Frobenius, mentre l'equazione Diofantea

$b=a_1x_1+a_2x_2+\dotsb+a_nx_n$

è a volte chiamata equazione di Frobenius.

[modifica] Soluzioni

Il problema delle monete è stato risolto per $n = 1,2,3$ . nessuna soluzione in forma chiusa è conosciuta per $n > 3$ .

[modifica] n = 1

Se $n = 1$ , allora a meno che $a 1 = 1$ , ci saranno infiniti numeri di interi positivi m che non potranno essere espressi come $m = a 1 x 1$ (quelli che non sono divisibili per $a 1$ ).

[modifica] n = 2

Se $n = 2$ , il numero di Frobenius può essere trovato dalla formula $b = a 1 a 2 - a 1 - a 2$ . Tale formula fu scoperta da James Joseph Sylvester nel 1884.