Lemma di Gauss

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In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.

Per ogni primo dispari p, sia a un intero coprimo con p. Si considerino gli interi:

$a, 2a, 3a, \dots, \frac{p-1}{2}a$

e i loro residui modulo p ridotti nell'intervallo $\left[-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}\right]$ . Sia s il numero di questi residui che sono negativi. Allora:

$\left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^s$

dove (a/p) è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.

[modifica] Dimostrazione

Per il criterio di Eulero si sa che

$\left(\frac{a}{p}\right) = a^\frac{p-1}{2} \pmod{p}$

moltiplicando entrambi i membri per il fattoriale di $\frac{p-1}{2}$

$\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{p-1}{2}\right)! = \prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}an \pmod{p}$

consideriamo adesso i residui di $a n$ ridotti nell'intervallo $\left[-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}\right]$ . Allora:

non ci sono due residui uguali; infatti se

a k 1 = a k 2 (mod p)

allora

p | k 1 - k 2

, ed essendo

k 1, k 2 < p

, ciò e possibile solo se

k 1 = k 2

non ci sono due residui opposti; infatti se

a k 1 = - a k 2 (mod p)

allora

p | k 1 + k 2

ma essendo $k_1,k_2 < \frac{p}{2}$ ciò è impossibile.

Di conseguenza i valori assoluti dei residui $a n$ sono tutti diversi e il loro prodotto vale

$\prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}an=\left(\frac{p-1}{2}\right)!\left(-1\right)^s$

dove $s$ è il numero dei residui negativi, quindi

$\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{p-1}{2}\right)! =\left(\frac{p-1}{2}\right)!\left(-1\right)^s \pmod{p}$

e semplificando per il fattoriale di $\frac{p-1}{2}$ si ottiene la tesi:

$\left(\frac{a}{p}\right) =\left(-1\right)^s$

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 8808091546 - Capitolo III.4
Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Chapter 9.4)