Identità sui logaritmi
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In vari settori della matematica, in particolare nello studio delle funzioni speciali, si incontrano svariate identità sui logaritmi.
Indice |
[modifica] Identità algebriche
[modifica] Le identità più semplici
deriva da | ||
deriva da | ||
deriva da |
[modifica] Semplificazione di calcoli numerici
I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si può ottenere il prodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.
deriva da | ||
deriva da | ||
deriva da | ||
deriva da |
[modifica] Cancellazione con gli esponenziali (identità logaritmica)
La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni della funzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullano reciprocamente.
deriva da | ||
deriva da |
[modifica] Cambiamento della base
Questa identità permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran parte delle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di log10, ma nessuno che permetta il calcolo diretto di log2. Per ottenere il valore di un numero come log2(3), si può calcolare log10(3) / log10(2) (o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).
Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:
[modifica] Identità utili al calcolo infinitesimale
[modifica] Limiti
L'ultima identità viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono più lentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabile x".
[modifica] Derivata delle funzioni logaritmiche
[modifica] Integrali di funzioni logaritmiche
Per rendere più mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:
dove è l'n-esimo numero armonico. Quindi si hanno le successive identità:
Di conseguenza