Geometria differenziale delle curve

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In matematica, la geometria differenziale delle curve usa il calcolo infinitesimale per studiare le curve nel piano, nello spazio, e più generalmente in uno spazio euclideo.

Indice

1 Definizioni
- 1.1 Definizioni di base
- 1.2 Lunghezza e parametrizzazione
2 Sistema di Frenet
3 In due dimensioni
4 In tre dimensioni
5 Formule di Frenet-Serret
6 Proprietà delle curvature
7 Voci correlate

[modifica] Definizioni

[modifica] Definizioni di base

Per approfondire, vedi la voce curva (matematica).

Una curva è una funzione continua

$f:I\to \mathbb R^n$

dove $I$ è un intervallo dei numeri reali, come ad esempio $[0,1]$ . In questa voce, supporremmo che $f$ sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto, la cui derivata prima $f'(x)$ sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo I.

Il supporto di $f$ è la sua immagine. Se $f$ è iniettiva, la curva è semplice.

[modifica] Lunghezza e parametrizzazione

Una riparametrizzazione di $f$ è un'altra curva $g$ tale che

$g = f \circ p$

dove $p:I \rightarrow I$ è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente). In questo caso le curve $f$ e $g$ si intendono come equivalenti, benché descritte con parametrizzazioni diverse.

La lunghezza di una curva $f$ definita su un intervallo chiuso $I = [a, b]$ è data da

$l = \int_a^b \vert f'(t) \vert dt$

La lunghezza non cambia se la curva viene riparametrizzata. La lunghezza percorsa al tempo $t$ è quindi

$s(t) = \int_a^t \vert f'(u) \vert du.$

Scrivendo

f (t) = f 0 (s (t))

si ottiene una riparametrizzazione $f 0$ chiamata parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco, avente velocità costante 1:

$\vert f_0'(s(t)) \vert = 1 \qquad (\forall t \in I)$

Questa parametrizzazione è l'unica avente velocità costante 1. Benché sia spesso difficile da calcolare, è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

[modifica] Sistema di Frenet

Un sistema di Frenet è un sistema di riferimento di $n$ vettori ortonormali

$e_1(t), \ldots, e_n(t)$

dipendenti da $t$ , utili per descrivere il comportamento locale della curva in $f (t)$ .

Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia regolare, cioè che le derivate

$f'(t), f''(t), \ldots, f^{(n)}(t)$

siano linearmente indipendenti, e quindi formino una base. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

Le curvature generalizzate sono definite come

$\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{| f'(t) |}.$

Il sistema di Frenet e le curve generalizzate non dipendono dalla parametrizzazione scelta.

[modifica] In due dimensioni

Il cerchio osculatore

Nel piano, il primo vettore di Frenet $e 1 (t)$ è la tangente alla curva al tempo $t$ , mentre il vettore $e 2 (t)$ , detto vettore normale è il vettore normale a $e 1 (t)$ , nella direzione in cui curva. La curvatura

κ(t) = χ 1 (t)

indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco

$\frac{1}{\kappa(t)}$

è chiamato raggio di curvatura. Ad esempio, una circonferenza di raggio $r$ ha curvatura costante $1 / r$ , mentre una linea ha curvatura nulla.

Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a $e 1 (t)$ e di raggio $1 / r$ . Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al tempo $t$ "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di $f$ nel punto.

[modifica] In tre dimensioni

Nello spazio tridimensionale i vettori di Frenet e le curvature hanno dei nomi specifici.

[modifica] Vettore tangente

Il primo vettore di Frenet $e 1$ è il vettore tangente, definito quindi come

$\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ f'(t) }{ | f'(t) |}.$

Se $f$ è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a

$\mathbf{e}_{1}(t) = f'(t).$

[modifica] Vettore normale

Il vettore normale misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come

$\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {| \overline{\mathbf{e}_2}(t) |} \mbox{, } \quad \overline{\mathbf{e}_2}(t) = f''(t) - \langle f''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t).$

I vettori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore della curva al punto $t$ .

[modifica] Curvatura

La prima curvatura generalizzata χ₁(t) è chiamata semplicemente curvatura di $f$ in $t$ , ed è data da

$\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{| \mathbf{\gamma}^'(t) |}.$

Il reciproco della curvatura

$\frac{1}{\kappa(t)}$

è il raggio di curvatura nel punto $t$ .

[modifica] Vettore binormale

Il vettore binormale è il terzo vettore di Frenet $e 3 (t)$ : è ortogonale al piano osculatore, definito con il prodotto vettoriale semplicemente come

$\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_2(t) \times \mathbf{e}_1(t).$

[modifica] Torsione

La seconda curvatura generalizzata χ₂(t) è chiamata torsione e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una curva piana.

$\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{| \mathbf{\gamma}'(t) |}.$

[modifica] Formule di Frenet-Serret

Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate χ_i.

[modifica] 2 dimensioni

$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t)\\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa(t) \\ -\kappa(t) & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t)\\ \mathbf{e}_2(t) \\ \end{bmatrix}$

[modifica] 3 dimensioni

$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t) \\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \mathbf{e}_3'(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa(t) & 0 \\ -\kappa(t) & 0 & \tau(t) \\ 0 & -\tau(t) & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t) \\ \mathbf{e}_2(t) \\ \mathbf{e}_3(t) \\ \end{bmatrix}$

[modifica] n dimensioni (formula generale)

$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t)\\ \vdots \\ \mathbf{e}_n'(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \chi_1(t) & & 0 \\ -\chi_1(t) & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & 0 & \chi_{n-1}(t) \\ 0 & & -\chi_{n-1}(t) & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t) \\ \vdots \\ \mathbf{e}_n(t) \\ \end{bmatrix}$