Funzione caratteristica

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Nota disambigua - Se stai cercando la funzione nella teoria degli insiemi che più propriamente si chiama funzione indicatrice, vedi funzione indicatrice.

Nella teoria della probabilità, la funzione caratteristica di una generica distribuzione di probabilità definita sulla retta reale è data dalla seguente formula, dove X è una qualsiasi variabile casuale con la distribuzione in questione:

$\phi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = \int_\Omega e^{itx}\, dF_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, e^{itx}\,dx.$

Qui t è un numero reale, E indica il valore atteso e F è la funzione di distribuzione cumulativa. L'ultima formula è valida solo quando la funzione di densità di probabilità esiste. La formula che la precede è un integrale di Riemann-Stieltjes ed è valida sia che la funzione densità esista sia che non esista.

Se X è una variabile casuale vettoriale, si può considerare l'argomento t come vettore e tX come prodotto scalare.

Una funzione caratteristica esiste per ogni variabile casuale. Inoltre, esiste una biiezione fra funzioni di distribuzione cumulativa e funzioni caratteristiche. In altre parole, due distribuzioni di probabilità non condividono mai la stessa funzione caratteristica, a meno che non coincidano.

Data una funzione caratteristica φ, è possibile ricostruire la distribuzione di probabilità cumulativa F:

$F_X(y) - F_X(x) = \lim_{\tau \to +\infty} \frac{1} {2\pi} \int_{-\tau}^{+\tau} \frac{e^{-itx} - e^{-ity}} {it}\, \phi_X(t)\, dt.$

In generale questo è un integrale improprio; la funzione integranda può essere anche condizionatamente integrabile piuttosto che Lebesgue-integrabile, cioè l'integrale del suo valore assoluto può essere infinito.

Le funzioni caratteristiche sono usate nella dimostrazione più comune del teorema del limite centrale.

Le funzioni caratteristiche possono essere anche usate per trovare i momenti di una variabile casuale. A condizione che il momento n-esimo esista, la funzione caratteristica può essere derivata n volte e

$\operatorname{E}\left(X^n\right) = (-i)^n\, \phi_X^{(n)}(0) = (-i)^n\, \left[\frac{d^n}{dt^n} \phi_X(t)\right]_{t=0}.$

Nozioni correlate includono la funzione generatrice dei momenti e la funzione generatrice di probabilità.

La funzione caratteristica è strettamente legata alla trasformata di Fourier: La funzione caratteristica di una distribuzione con funzione di densità f è proporzionale alla trasformata di Fourier inversa di f.

Le funzioni caratteristiche sono particolarmente utili nel trattare funzioni di variabili casuali indipendenti. Ad esempio, se X₁, X₂, ..., X_n è una successione di variabili casuali indipendenti, e

$S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,$