Frontiera (topologia)
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In topologia, la frontiera di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell'insieme meno il suo interno. Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S. Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono bd(S), fr(S), e 
.
Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.
- Si definisce frontiera di S l'intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complemento.
- Si definisce frontiera di S l'insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almento un punto di S e almeno un punto non appartenente a S.
[modifica] Proprietà
- La frontiera di un insieme è chiusa.
- La frontiera di un insieme è uguale all'intersezione fra la chiusura dell'insieme e la chiusura del suo complemento.
- Un insieme è chiuso se e solo se la frontiera dell'insieme è contenuta nell'insieme, e aperto se e solo se è disgiunto dalla sua frontiera.
- La frontiera di un insieme è uguale alla frontiera del suo complemento.
- La chiusura di un insieme è uguale all'unione dell'insieme con la sua frontiera.
- La frontiera di un insieme è vuota se e solo se l'insieme è contemporaneamente chiuso e aperto (cioè se è un insieme chiuso-aperto).
- In
, ogni insieme chiuso è la frontiera di un insieme.
[modifica] Esempi
- Consideriamo la usuale topologia dell'asse reale; se X = [0,5), allora secondo
. 
- Se Ω denota il disco caratterizzato dalla disuguaglianza x2+y2 ≤ 1, in R3 si ha ∂Ω = Ω, mentre in R2, ∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}. Quindi, la frontiera di un insieme può dipendere dall'insieme in cui è immerso.
