Arbitrage pricing theory

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In finanza, l'Arbitrage Pricing Theory (APT) è un modello in base al quale il rendimento atteso di un'attività finanziaria è espresso come funzione lineare di una serie di fattori, più una componente idiosincratica di rischio. La sensibilità del rendimento atteso rispetto a variazioni dei fattori è nota con termine inglese come factor loading, ed è la controparte nel contesto multifattoriale dell'APT del coefficiente beta del capital asset pricing model (CAPM). L'APT è stato originariamente proposto da Stephen Ross, in uno storico contributo del 1976.

Indice

1 Un modello fattoriale lineare per i rendimenti attesi
2 Arbitrage pricing theory
3 Bibliografia
4 Voci correlate

[modifica] Un modello fattoriale lineare per i rendimenti attesi

La base dello sviluppo dell'APT sta nel concetto di modello fattoriale lineare per i rendimenti attesi; un modello fattoriale lineare ipotizza in particolare che:

$\ R_i = a_i + \sum_{k=1}^{K}b_{ik}f_k+\varepsilon_i,\quad i=1,\ldots,N$

dove $R i$ denota il rendimento di un generico titolo, indicizzato da $i=1,\ldots,N$ ; $\ f_k$ , con $k=1,\ldots,K$ è un insieme di fattori, ossia di variabili esogene che determinano l'evoluzione dei rendimenti. I coefficienti $b i k$ sono detti con voce inglese factor loadings; $\varepsilon_i$ è detto rischio idiosincratico, in quanto caratteristico del singolo titolo o rendimento. Si ipotizza in particolare che:

$\ \mbox{E}[\varepsilon_i]=\mbox{E}[f_k]=\mbox{E}[\varepsilon_i\varepsilon_j]=\mbox{E}[\varepsilon_i f_k]=\mbox{E}[f_k f_l]=0$

$\mbox{E}[\varepsilon_i^2]=s_i^2<S^2<\infty\quad\mbox{E}[f_k^2]=1$

Le ipotesi su $\ \mbox{E}[f_k]$ , $\ \mbox{E}[f_k f_l]$ e $\mbox{E}[f_k^2]$ sono innocue normalizzazioni, così come quelle su $\mbox{E}[\varepsilon_i]$ e $\mbox{E}[\varepsilon_i f_k]$ . Sono invece più restrittive le ipotesi che $\varepsilon_i$ abbia varianza finita per ogni $i$ ( $s_i^2<\infty$ ), e che le componenti di rischio idiosincratico siano tra loro incorrelate ( $\mbox{E}[\varepsilon_i\varepsilon_j]=0$ ): la prima ipotesi pone infatti una restrizione sulle distribuzioni di probabilità che si ammette siano seguite dai rendimenti dei titoli (soltanto quelle aventi il secondo momento finito); la seconda che la rischiosità di ciascun titolo possa essere isolata in una componente non correlata con quella degli altri titoli (ossia che ogni rendimento sia caratterizzato da una componente di rischio realmente idiosincratica). Da queste ipotesi segue che:

$\mbox{E}[R_i]=a_i\quad \forall i$

Il numero dei fattori $f k$ , e quali variabili economiche (o di altro tipo) essi rappresentino, ha scarsa importanza a questo punto (ha importanza molto maggiore, ovviamente, nelle applicazioni). In altre parole, il modello fattoriale lineare è una caratterizzazione puramente statistica del rendimento dei titoli, e non ha di per sé la pretesa di fornire alcuna spiegazione economica della loro evoluzione.

[modifica] Arbitrage pricing theory

In uno storico contributo del 1976 Stephen Ross, a partire da un modello fattoriale lineare come quello proposto sopra, deriva l'Arbitrage Pricing Theory o APT.

Al fine di illustrare questo risultato, si definisca un portafoglio tramite un vettore $ω$ che in ogni componente indica l'investimento effettuato in ciascun titolo dell'economia. Dato un vettore di rendimenti attesi $\ \mbox{E}[R]$ e la matrice varianze-covarianze associata $\ \Omega$ i definisce dunque un'opportunità di arbitraggio asintotica una successione di portafogli $\left\{\omega_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ tali che:

$\omega_n'\mathbf{1}=0\ \forall n$

$\omega_n'\mbox{E}[R]\geq\delta>0\ \forall n$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\omega_n'\Omega\omega_n=0$

dove $\mathbf{1}$ denota un vettore avente tutte le componenti uguali a 1. Le condizioni sopra implicano che ciascun portafoglio comporta un esborso di denaro nullo (le componenti di $ω n$ possono anche essere negative, dunque questo non significa che non si abbia investimento), assicura un rendimento atteso strettamente positivo, e il portafoglio limite della successione ha varianza $ω n'Ωω n$ nulla.

Il teorema di Ross afferma che, ipotizzando che valga un modello fattoriale lineare come quello presentato sopra, nell'ipotesi in cui non siano ammesse opportunità di arbitraggio asintotiche, esiste un insieme di premi per il rischio $\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ tali che il rendimenti atteso di ciascun titolo $a i$ può essere espresso come:

$\mbox{E}[R_i]=a_i=\lambda_0+\sum_{k=1}^K\lambda_kb_{ik}+v_i$

dove:

$\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}v_i^2=0$ .

I $v i$ possono essere interpretati come errori di prezzo (o meglio, di determinazione del rendimento atteso): l'APT determina il rendimento atteso corretto per ciascun titolo, con un errore quadratico medio che tende a zero, al limite per $N$ , il numero dei titoli scambiati nell'economia, che tende all'infinito.

[modifica] Bibliografia

Burmeister, E. e Wall, K.D. (1986) The Arbitrage Pricing Theory and Macroeconomic Factor Measures, The Financial Review 21, 1-20;
Chen, N.F., e Ingersoll, E. (1983) Exact Pricing in Linear Factor Models with Finitely Many Assets: a Note, Journal of Finance 38(3), 985-988;
Roll, R. e Ross, S. (1980) An Empirical Investigation of the Arbitrage Pricing Theory, Journal of Finance 35(4), 1073-1103;
Ross, S. (1976) The arbitrage theory of capital pricing, Journal of Economic Theory 13.