Páros és páratlan függvények

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikában páros illetve páratlan függvénynek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek kielégítenek bizonyos, az additív inverzzel kapcsolatos szimmetriatulajdonságokat. Különösen a hatványsorok és a Fourier-sorok vizsgálatában van nagy jelentőségük.

Tartalomjegyzék

1 Páros függvények
2 Páratlan függvények
3 Tulajdonságok
- 3.1 Műveleti tulajdonságok
4 Lásd még

[szerkesztés] Páros függvények

Páros függvénynek nevezzük egy olyan f, valós számhoz valós számot rendelő függvényt, mely értelmezési tartománya minden x elemével együtt a -x elemet is tartalmazza és melyre teljesül, hogy

$f(-x)=f(x)\,$

(Tehát a páros függvény "elnyeli a minuszjelet".)

A páros függvények grafikonját tekintve fontos geometriai tulajdonsággal jellemezhetjük őket. Pontosan azok a függvények párosak, amelyek függvénygörbéje szimmetrikusak az y tengelyre (azaz az y tengelyre való tükrözés helybenhagyja őket).

Néhány példa páros függvényre:

abs: x $\mapsto$ | x | nyilvánvalóan páros, hiszen minden x valós számra: |-x| = | (-1) $\cdot$ x| = |-1| $\cdot$ |x| = |x|
x $\mapsto$ x² szintén páros, mert a négyzetremelés "eltűnteti" a minuszjelet
cos: x $\mapsto$ cos x páros függvény, mert egy α szög koszinuszán a mozgó szögszár egységkörrel alkotott metszéspontjának x koordinátáját értjük és az α illetve -α szög mozgó szögszára a kördiagramban az x tengelyre nézve tükörszimmetrikus, vagyis az egységkörrel vett metszéspontjuknak ugyanaz az x koordinátája

Az abszolútérték függvény páros

A négyzetreemelés függvény páros

A koszinusz függvény páros

[szerkesztés] Páratlan függvények

Páratlan függvénynek nevezzük azt a valós értékű függvényt, amelyikre teljesül:

ha x∈D(f), akkor -x∈D(f)
∀x∈D(f): f(-x)=-f(x).

Geometriailag pontosan azok a függvények páratlanok, amelyek szimmetrikusak az origóra (azaz az origókörüli 180 fokos forgatás helybenhagyja őket).

Néhány példa páratlan függvényre: x, x³, sin(x).

x függvény páratlansága

x³ függvény páratlansága

sin függvény páratlansága

[szerkesztés] Tulajdonságok

A páros és páratlan számokkal ellentétben a páros és páratlan függvények halmaza se nem diszjunkt, se nem fedik le együtt az összes függvényt. Az azonosan 0 függvény egyszerre páros és páratlan (ez az egyetlen ilyen); és számtalan olyan függvény van, ami se nem páros, se nem páratlan (például mindazon függvények, amik nem mennek át az origón).

Minden függvény egyértelműen felbontható viszont egy páros és egy páratlan függvény összegére az alábbi módon:

$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,+\,\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

Ezt a műveleti tulajdonságokkal összevetve adódik, hogy rögzített értelmezési tartomány mellett mind a páros, mind a páratlan függvények egy vektorteret képeznek a valós számok felett; és az adott értelmezési tartomány feletti függvények tere ennek a két vektortérnek a direkt összege.

A páros függvények továbbá egy kommutatív algebrát formálnak a valós számok felett. A páratlan függvényekre ez nem igaz.

A páros függvények Taylor-sorában csak páros, a páratlan függvényekében csak páratlan kitevők vannak. (Ez indokolhatja az elnevezést is.) Periodikus páros függvények Fourier-sorában csak koszinuszos, periodikus páratlan függvényekében csak szinuszos tagok vannak.

[szerkesztés] Műveleti tulajdonságok

Páros függvények összege és konstansszorosa (egy szóval:lineáris kombinációja) páros; páratlanoké páratlan. Páratlan és páros függvények összege azonban általában se nem páros, se nem páratlan.
Páros függvények szorzata páros; páratlanok szorzata szintén páros. Egy páros és egy páratlan függvény szorzata páratlan.
Páros függvények deriváltja páratlan; páratlan függvényeké páros.