Egymintás t-próba

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az egymintás t-próba a statiszitkai hipotézisvizsgálatok közül a paraméteres próbák közé tartozik. A próba azt vizsgálja, hogy egy mintában egy valószínűségi változó átlaga szignifikánsan különbözik-e egy adott m értéktől.

Tartalomjegyzék

1 A próba alkalmazásának feltételei
2 A próba nullhipotézise
3 A próbastatisztika
4 A próba végrehajtásának lépései
5 Példa
6 A próba matematikai háttere
7 Megjegyzések
8 Források

[szerkesztés] A próba alkalmazásának feltételei

a vizsgált valószínűségi változó normális eloszlású
a vizsgált valószínűségi változó intervallum vagy arányskálán mért

[szerkesztés] A próba nullhipotézise

Nullhipotézis: a minta átlaga statisztikai szempontból megegyezik az előre megadott m értékkel.

Alternatív hipotézis: a minta átlaga statisztikai szempontból nem egyezik meg az előre megadott m értékkel.

A "statisztikai szempontból" kifejezés itt arra utal, hogy az eltérés a mintából kiszámolt átlag és az m érték között olyan minimális, hogy pusztán csak a véletlen ingadozásnak tulajdonítható (ekkor a minta átlaga statisztikai szempontból azonosnak tekinthető az m-mel), vagy jelentősen nagyobb, mint ami a véletlennel magyarázható (ekkor a minta átlaga statisztikai szempontból nem egyezik meg m-mel).

Valójában a fenti két hipotézis precíz matematikai megfogalmazása a következő.

H₀: Az X valószínűségi változó várható értéke megegyezik m-mel.
H₁: Az X valószínűségi változó várható értéke nem egyezik meg m-mel.

[szerkesztés] A próbastatisztika

Az egymintás t-próba próbastatisztikája

$t = \frac {\bar x-m} {s / \sqrt{n}}$

ahol

$\bar x$ a vizsgált valószínűségi változó átlaga a mintában,
s a vizsgált valószínűségi változó becsült szórása,
m az előre adott érték, amihez az átlagot viszonyítjuk (ld. nullhipotézis) és
n a minta elemszáma.

A szórást itt többnyire a szokott $s= \sqrt { \frac {\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2} {n} }$ képlettel becsüljük, ahol a minta az { $x 1, x 2,..., x n$ } értékekből áll.

Azonban ha a minta elemszáma kisebb mint 30 (vagyis n<30), akkor a szórás helyett a korrigált szórással szoktunk számolni, melyet s helyett s^*-gal jelölünk. Ennek képlete

$s^*= \sqrt { \frac {\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2} {n-1} }$ .

Az n<30 esetben tehát a t próbastatisztika képletében az s helyére s^* kerül. (A csere mögött az a meggondolás áll, hogy az s torzított becslése míg s^* torzítatlan becslése a szórásnak.)

[szerkesztés] A próba végrehajtásának lépései

Az t próbastatisztika értékének kiszámítása.
A p szignifikancia szint megválasztása. (Ez a legtöbb vizsgálat esetén 0,05 vagy 0,01.)
A p szignifikancia szinttől függő $t p$ érték kiválasztása a próbának megfelelő táblázatból. A táblázat jelen esetben a t-eloszlás táblázata, melyre szoktak úgy is utalni, mint Student-eloszlás, illetve Student-féle t-eloszlás. A táblázat kétdimenziós, a p szignifikancia szint és az f szabadsági fok ismeretében azonnal megkapjuk a táblázatbeli $t p$ értéket. Az f szabadsági fokot az egymintás t-próba esetén az f = n - 1 képlettel számítjuk.
A nullhipotézisre vonatkozó döntés meghozása.
- Ha |t| ≥ $t p$ , akkor a nullhipotézist elvetjük, az alternatív hipotézist tartjuk meg, és az eredményt úgy interpretáljuk, hogy a mintában a vizsgált valószínűségi változó átlaga szignifikánsan eltér az adott m értéktől (p szignifikancai szint mellett).
- Ha |t| < $t p$ , akkor a nullhipotézist megtartjuk, amit úgy interpretálunk, hogy az egymintás t-próba nem mutat ki szignifikáns különbséget a vizsgált valószínűségi változó mintabeli átlaga és az adott m érték között (p szignifikancia szint mellett).

[szerkesztés] Példa

Egy gyárban egy gépnek 500 gr töltőanyagot kell a konzervekbe juttatnia minden töltéskor. A töltőanyag egyenetlenségéből adódóan a gép néha kicsit többet, néha kicsit kevesebbet tölt, mint 500 gr. Arra nagyunk kíváncsiak, hogy a gép átlagos "teljesítménye" 500 gr-nak mondható-e. Kiveszünk 10 konzervet a futószalagról és megmérjük mindben a töltőanyag súlyát. Az eredmények rendre

483, 502, 498, 496, 502, 483, 494, 491, 505, 486.

Azt látjuk, hogy a töltőanyag súlya többnyire valóban nem tér el az 500 gr-tól nagyon, az átlag $\bar x$ = 494. Ránézésre mégsem tudjuk megállapítani, hogy ez a 494 gr lényegesen eltér-e az 500 gr-tól vagy csak a véletlennek tulajdonítható apró eltérésről van szó. Ennek a dilemmának az eldöntésére egymintás t-próbát alkalmazunk.

Feltesszük, hogy a töltőanyag súlya, mint valószínűségi változó normális eloszlást követ. (Hogy ez így van-e azt illeszkedésvizsgálatokkal, azon belül is normalitásvizsálatokkal lehetne ellenőrizni.) A súly kg-ban való mérése arányskála, így az egymintás t-próba alkalmazásának feltételei teljesülnek. Mivel a minta elemszáma n = 10 < 30 így a szórás becslésére az s^* képletet használjuk: s^* = 8,05 adódik. Az érték, amitől a minta átlagának esetleges eltérésére vagyunk kíváncsiak, nyilvánvalóan az m = 500 érték. A próbastatisztika képletének minden elemét ismerjük, tehát számítható

$t = \frac {\bar x-m} {s / \sqrt{n}} = \frac {494-500} {8,05 / \sqrt{10}} \approx 2,36$

Vegyük a szignifikancia szintet p = 0,05-nek azaz 5%-os kockázatot vállalunk arra, hogy esetleg úgy vetjük el a nullhipotézist, hogy az közben igaz. A szabadsági fok f = n -1 = 9, így a p és az f ismeretében a t-eloszlás táblázatából könnyen kikereshetjük a megfelelő táblázat beli értéket, ami $t p = t 0,05 =$ 2,262.

t ≈ 2,36 miatt u > 2,3 > 2,262 = $t 0,05$

azaz |t| ≥ $t p$ teljesül.

Így a nullhipotézist elvethetjük, az egymintás t-próba szerint az átlagos töltősúly szignifikánsan eltér (p = 0,05-ös szignifikancia szint mellett) az 500 gr-tól.

[szerkesztés] A próba matematikai háttere

A próba matematikai hátterének legfontosabb gondolata, hogy bármely X normális eloszlású valószínűségi változóra vett X₁, X₂, ... X_n minta esetén az

$\overline X= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ ,

és

$s^*= \sqrt { \frac {\sum_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2} {n-1} }$

jelölésekkel élve megmutatható, hogy a

$t = \frac {\overline X-m} {s^* / \sqrt{n}}$

valószínűségi változó (n - 1) szabadsági fokú t-eloszlást követ.

Emiatt az (n - 1) szabadsági fokú t-eloszlás ismeretében bármilyen 1 > p > 0 esetén meg lehet határozni azt az t_p értéket, melyre

$1-p = \bold P \left( -t_p < \frac {\overline X - m} {s^* / \sqrt n} < t_p \mid \ H_0 \right)$ .

Ez azt jelenti, hogy ha igaz a nullhipotézis, akkor a t próbastatisztika értéke 1-p valószínűséggel a (-t_p, t_p) intervallumba esik.

[szerkesztés] Megjegyzések

Az egymintás t-próba bizonyos tekintetben az egymintás u-próba párja. Az egymintás u-próba ugyanezt a nullhipotézis vizsgálja, csak a feltételei közt szerepel az szórás értékének előzetes ismerete, s nem a minta adataiból becsli azt. A próbastatisztika képlete is nagyon hasonló, csak benne az becsült s szórás helyett az eleve adott σ szórás szerepel. Természetesen a két próba matematikai háttere is nagyon hasonló.

A szakirodalom nem teljesen egységes annak tekintetében, hogy a nullhipotézis elvetéséről vagy megtartásáról szóló döntésben az |t| és $t p$ közötti két egyenlőtlenség közül melyiknél engedi meg az egyenlőséget. Ennek gyakorlati jelentősége nem igazán van, az alkalmazások során nagyon ritkán adódik, hogy a kiszámított próbastatisztika pontosan egybeesen a táblázat beli értékkel. Ha esetleg mégis így alakul, akkor az eredmény úgy interpretálható, hogy a nullhipotézis elvetése esetén a kockázat pontosan megegyezik a szignifikancia szinttel, s innen a kutató (és a tudós társadalom) szája ízétől függ, hogy ebben inkább a nullhipotézis elvetésének, vagy inkább a nullhipotézis megtartásának zálogát látja.

Érdemes megfigyelni az óvatos fogalmazást a nullhipotézis megtartása esetén. Az általunk meghatározott p szignifikancia szint az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét adja meg. Ha el tudom vetni a nullhipotézist, akkor ekkora kockázatot vállalok arra nézve, hogy esetleg hiba elvetni. Amennyiben viszont nem tudom elvetni a nullhipotézis, akkor elsőfajú hibát biztosan nem fogok elkövetni, ám elkövethetek másodfajú hibát, melynek kockázatáról semmit nem mond a próba. Ez indokolja, hogy ha a nullhipotézist megtartjuk, akkor nem azt mondjuk, hogy nincs szignifikáns különbség a minta átlata és az előre megadott m érték között, hanem hogy az egymintás t-próba nem tudott szignifikáns különbséget kimutatni (ami ettől még lehet, hogy van).

A próbát Student-féle t-próbának, vagy egymintás Student-féle t-próbának is szokták nevezni. Az elnevezés mögött az áll, hogy a t próbastatisztika azt a t-eloszlást követi, melyet szoktak Student-eloszlásnak, vagy Student-féle t-eloszlásnak is nevezni.

[szerkesztés] Források

Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
Michaletzky Gy. - Mogyoródi J. (1995): Matematikai statisztika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
Michelberger P. - Szeidl L. - Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
Vargha A. (2000): Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Pólya Kiadó, Budapest.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../e/g/y/Egymint%C3%A1s_t-pr%C3%B3ba.html"

Kategória: Statisztika