Normális eloszlás

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ - vagy rövidebben normális eloszlású - pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{ - \frac {(x-m)^2} {2\sigma ^2} },$

ahol m, σ ∈ R, σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlásnak is nevezni.

Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:

$X \sim \mathcal N (m,\sigma ^2).$

Speciálisan, ha X ∼ N(0, 1), akkor X-et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.

Tartalomjegyzék

1 A normális eloszlást jellemző függvények
2 A normális eloszlást jellemző számok
3 Normális eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága
4 Megjegyzés
5 Érdekesség
6 Forrás

[szerkesztés] A normális eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{ - \frac {(z-m)^2} {2\sigma ^2} } dz \left( = \int_{-\infty}^{x} f(z) dz \right)$

Karakterisztikus függvénye

$\varphi (t) = e^ { itm- \frac{\sigma ^2 t^2}{2} }$

[szerkesztés] A normális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$\bold E (X)=m$

Szórása

$\bold D (X)=\sigma$

Momentumai

A páratlan rendű centrált momentumai nullával egyenlőek, a páros rendűek

$\bold E (X -\bold E(X))^{2r} = \sigma^{2r}(2r-1)(2r-3)\cdot ...\cdot 3\cdot 1$

Ferdesége

$\beta_1(X)=0 \,$

Lapultsága

$\beta_2(X)=0 \,$

[szerkesztés] Normális eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága

Ha X ∼ N(m, σ²), akkor bármilyen nullától különböző valós a és bármilyen valós b szám esetén az Y = aX + b valószínűségi változó is normális eloszlást követ, pontosabban Y ∼ N(am + b, a²σ²).

Normális eloszlású független valószínűségi változók összege is normális eloszlású. Pontosabban ha X₁ ∼ N(m₁, σ₁²) és X₂ ∼ N(m₂, σ₂²) független valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ ∼ N(m₁ + m₂, σ₁² + σ₂²).

Fordítva: ha X₁ és X₂ független valószínűségi változó, és X₁ + X₂ normális eloszlású, akkor X₁ is és X₂ is normális eloszlású.

[szerkesztés] Megjegyzés

Szokták a normális eloszlást normál eloszlásnak is nevezni.

[szerkesztés] Érdekesség

1989-ben a Német Szövetségi Bank olyan 10 márkás bankjegyet bocsátott ki, melyen Gauss képe mellett a standard norális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonja, és képlete is látható. Ez a bankjegy 2001-ig volt forgalomban, amikor Németország áttért az Eurora.

[szerkesztés] Forrás

Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../n/o/r/Norm%C3%A1lis_eloszl%C3%A1s.html"

Kategória: Valószínűségszámítás