קבוצה צפופה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בתורת הקבוצות, קבוצה צפופה היא קבוצה שבאופן אינטואיטיבי ניתן לומר עליה שאבריה "צפופים", כלומר ניתן למצוא איבר שלה בין כל שני איברים אחרים שלה.

מבחינה פורמלית, קבוצה A שקיים עליה סדר חלקי נקראת "צפופה" אם ורק אם לכל $x,y\isin A$ שעבורם מתקיים $\!\,x<y$ קיים $\!\,z\isin A$ כך ש $\!\,x<z<y$ .

בטופולוגיה, יש למושג הקבוצה הצפופה משמעות מעט שונה. תת קבוצה A של מרחב X היא צפופה אם ורק אם הסגור שלה הוא המרחב כולו. הגדרה שקולה היא ש-A צפופה ב-X אם ורק אם כל קבוצה פתוחה ב-X מכילה איבר מתוך A. דהיינו, ניתן "להתקרב כרצוננו" לכל נקודה ב-X בעזרת נקודות מ-A. מרחב שיש בו קבוצה צפופה בת מניה יקרא מרחב ספרבילי.

דוגמה לקבוצה צפופה היא המספרים הרציונליים, שהם צפופים על פי שתי ההגדרות: בין כל שני מספרים רציונליים ניתן למצוא מספר רציונלי נוסף, ואם מסתכלים על הישר הממשי כעל מרחב טופולוגי, המספרים הרציונליים מהווים קבוצה צפופה בו, שכן כל קטע פתוח בישר הממשי מכיל מספרים רציונליים.

טופולוגיה קבוצתית