פלימפטון 322

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פלימפטון 322 הוא שמו של לוח חרסית שמקורו בבבל והוא מתוארך בין השנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס. הלוח, הכתוב בכתב יתדות, מכיל ארבע עמודות וחמש עשרה שורות של מספרים בספרות בבליות, כך שהמספרים בשתיים מן העמודות שייכים לשלשות פיתגוריות. זהו ככל הנראה המפורסם שבין הלוחות המתמטיים הבבליים שנמצאו ונותחו. מהות המספרים שבו שנוייה במחלוקת - על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית, ובכך הוא מתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו. על פי פרשנות אחרת, הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו.

שמו של הלוח נובע מכך שהוא פריט מספר 322 באוסף של ג.א. פלימפטון. מקורו בעיר העתיקה לרסה שבעיראק של ימינו, והוא התגלה בעת חפירות ארכיאולוגיות לא חוקיות, יחד עם עוד אלפי לוחות מסוגו, בשנות ה-20 של המאה ה-20. פלימפטון קנה את הלוח, ככל הנראה מבלי שהוא או המוכר יבחינו בייחוד שבו, ובשנות ה-30 תרם אותו יחד עם האוסף שלו לאוניברסיטת קולומביה, שם הוא שמור עד עצם היום הזה. בתיאור הקטלוגי שלו, תואר פלימפטון 322 כמכיל "רישום עסקה מסחרית".

פלימפטון 322

[עריכה] תיאור הלוח

הלוח מכיל ארבע עמודות של מספרים. העמודה הימנית ביותר, שניתן לתרגם את כותרתה בתור "השם שלו" מכילה על פי סדר את המספרים מ-1 ועד 15. בשל פגמים בלוח, המספרים 5,6 ו-15 לא מופיעים בבירור בו, אך ניתן לשער את קיומם. המספרים בעמודה זו כתובים בסגנון שונה מזה של המספרים בשאר הלוח (לדוגמה, 4 כתוב כריבוע של ארבע יתדות שמסמלות יחידה, בזמן שבמופע של 4 בעמודה אחרת, הוא מופיע כשלוש יתדות ועוד אחת מתחתיהן). הסגנון השונה נובע כנראה מכך שאין משמעות מתמטית למספרים אלו, והם משמשים רק למספור השורות.

כותרת העמודה השלישית משמאל ניתנת לתרגום כ"צלע האלכסון" (במקור מכילה הכותרת את המילה "ריבוע", אך כנראה שהכוונה במילה זו היא לאורך צלע), ואילו כותרת העמודה השנייה משמאל ניתנת לתרגום כ"צלע הרוחב". בין שתי עמודות אלו מתקיים הקשר הבא: אם $\ a$ הוא מספר מהעמודה השנייה משמאל, ו- $\ c$ הוא המספר המתאים מאותה שורה בעמודה השלישית משמאל, אז בכל המקרים פרט לארבעה מתקיים ש- $\ c^2-a^2$ הוא ריבוע של מספר טבעי - כלומר, ש- $\ a$ יכול לשמש בתור אורך של ניצב ו- $\ c$ יכול לשמש בתור אורך היתר במשולש ישר זווית שבו כל הצלעות הן בעלות אורכים שלמים. קשר זה נובע ממשפט פיתגורס. פירוש הדבר הוא ששתי העמודות הללו מתארות (בצורה לא ישירה) שלשות פיתגוריות. המספר השלישי בשלשה, שערכו נתון על ידי $\ b=\sqrt{c^2-a^2}$ , אינו מופיע על גבי הלוח.

העמודה הראשונה משמאל היא הבעייתית מבין כל העמודות. בשל פגמים בלוח, הכותרת שלה אינה ברורה. כמו כן, מכיוון שהלוח ככל הנראה נשבר לאורך קצה העמודה, לא ברור האם השקעים שמופיעים בתחילת כל שורה נובעים מהקו המפריד בין השורות, או שמדובר בסימון של המספר 1 בתחילת כל אחד מהמספרים בעמודה זו.

המספרים שבעמודה הראשונה מסודרים בסדר יורד. אם מסתכלים על המספרים כמייצגים שברים בבסיס סקסגסימלי (בסיס 60) שבו השתמשו הבבלים, הרי שניתן לתת לשורה זו אחת משתי פרשנויות: אם אכן מופיע 1 בתחילת כל איבר בשורה, השורה מתארת את היחס $\ \left(\frac{c}{b}\right)^2$ . אם לעומת זאת לא מופיע 1, היא מתארת את $\ \left(\frac{a}{b}\right)^2$ . חלקים מהעמודה השמאלית חסרים, אך ניתן לשער את ערכם על פי הכלל המנחה שנראה כי שימש ליצירת שאר המספרים בעמודה זו.

[עריכה] תוכן הלוח

הלוח מכיל את המספרים הבאים (בסוגריים נתונים תיקונים שמקובלים בספרות המודרנית, אך לא מופיעים בלוח המקורי):

1	119	169	1.9834
2	3367	11521 (4825)	1.94916
3	4601	6649	1.9188
4	12709	18541	1.88625
5	65	97	1.81501
6	319	481	1.78519
7	2291	3541	1.71998
8	799	1249	1.6928
9	541 (481)	769	1.64267
10	4961	8161	1.58612
11	45	75	1.5625
12	1679	2929	1.48942
13	25921 (161)	289	1.45002
14	1771	3229	1.43024
15	56	53 (106)	1.38716

במקור כל המספרים מופיעים בבסיס 60, אך בטבלה שלפנינו מובא הייצוג שלהם כמספרים עשרוניים. כמו כן, בעמודה השמאלית, ה-1 שלפני הנקודה בכל אחד מהמספרים שבעמודה הוא כאמור אופציונלי, וייתכן שלא היה חלק מהלוח.

[עריכה] הסבר לגבי התיקונים

כאמור, פרט לשורות 2,9,13,15, בכל השורות מתקיים ש- $\ c^2-a^2$ הוא ריבוע של מספר טבעי. עבור ארבע השורות ה"בעייתיות", נתון בסוגריים ערך שיבטיח שתכונה זו תתקיים גם באותה השורה. ניתן להסביר חלק מהתיקונים:

התיקון בשורה 9 מתבסס על כך ש-481 נכתב בתור (8,1) בבסיס סקסגסימלי, בעוד ש-541 נכתב בתור (9,1), כך שייתכן שהייתה כאן שגיאה של חוסר תשומת לב.
התיקון בשורה 13 מתבסס על כך ש-161 הוא השורש של 25921.
התיקון בשורה 15 מתבסס על כך ש-53 הוא חצי מ-106 (תיקון אפשרי אחר: להפוך את 56 ל-28).
התיקון שבשורה 2 הוא הבעייתי ביותר, ולא ניתן לו הסבר משכנע לחלוטין.

[עריכה] הפרשנויות השונות לאופן יצירת הלוח

[עריכה] שלשות פיתגוריות

האזכורים המרכזיים הראשונים של הלוח היו בספריו של אוטו נויגבאואר (Otto Neugebauer), ראשית בספר Mathematical Cuneiform Texts ולאחר מכן בספר The Exact Sciences in Antiquity. הטיפול שהוענק ללוח בספר השני תרם לפרסומו של הלוח, והפך להיות הסטנדרט המקובל בספרים העוסקים בהיסטוריה של המתמטיקה, שרובם תיארו את הפרשנות שאותה הציע נויגבאואר.

על פי פרשנות זו, הלוח שימש ליצירת שלשות פיתגוריות באמצעות שימוש בטכניקה אלגברית מתקדמת יחסית, שמעידה על רמה מתמטית מפותחת של יוצר הטבלה. הטכניקה משמשת ליצירה של שלשות פיתגוריות פרימיטיביות - שלשות פיתגוריות שבהן אין מחלק משותף לשלושת אברי השלשה. כל שלשה פיתגורית יכולה להתקבל באמצעות כפל שלשה פיתגורית פרימיטיבית במספר טבעי, כך שהשלשות הללו הן "אבני בנייה" לשלשות הפיתגוריות. בין השלשות שנמצאות בפלימפטון 322, רק שתיים אינן פרימיטיביות: אלו שבשורות 11 ו-15.

הטכניקה ליצירת השלשות היא כדלהלן: ידוע כי בהינתן מספרים חיוביים $\ s,t$ כך שהם זרים, בעלי זוגיות שונה ו- $\ s>t$ , ניתן ליצור מהם שלשה פיתגורית פרימיטיבית על ידי הנוסחאות $\ a=2st,b=s^2-t^2,c=s^2+t^2$ . יתר על כן, כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית ניתנת ליצירה בצורה הזו.

הטבלה שלהלן מסכמת את השלשות שבלוח ואת המספרים שיוצרים אותן. עבור השורות 11 ו-15 מובאים המספרים שיוצרים את השלשות הפרימיטיבית שמהן ניתן להגיע לשלשות שבשורות אלו.

מספר השורה	b	a	c	s	t
1	120	119	169	12	5
2	3456	3367	4825	64	27
3	4800	4601	6649	75	32
4	13500	12709	18541	125	54
5	72	65	97	9	4
6	360	319	481	20	9
7	2700	2291	3541	54	25
8	960	799	1249	32	15
9	600	481	769	25	12
10	6480	4961	8161	81	40
11	60	45	75	2	1
12	2400	1679	2929	48	25
13	240	161	289	15	8
14	2700	1771	3229	50	27
15	90	56	106	9	5

מהטבלה ניתן לראות כי כל המספרים s,t שנבחרו לצורך יצירת השלשות הם מספרים רגולריים ביחס לבסיס סקסגסימלי: הפיתוח של ההופכיים שלהם לשבר עשרוני הוא סופי בבסיס זה (תכונה זו שקולה לכך שהמחלקים הראשוניים של המספר הרגולרי יהיו 2,3,5). הסבר אפשרי אחד לבחירה של מספרים רגולריים נעוץ בכך שאם העמודה $\ \left(\frac{c}{b}\right)^2$ חושבה לאחר חישוב ערכי העמודות של a,c, אז כדי לבצע את החילוק היה צורך ש-b יהיה מספר רגולרי: הבבלים ביצעו חלוקה באמצעות כפל בהופכי. נויגבאואר ציין כי כל המספרים s,t שבטבלה כבר היו ידועים לבבלים ונמצאו בטבלאות הבסיסיות של מספרים רגולריים וההופכיים שלהם, פרט למספרים שיוצרים את שורה 4, אשר נמצאו בהרחבות מיידיות לטבלאות אלו.

[עריכה] טבלה טריגונומטרית

ההסבר של נויגבאואר אינו מפרש מדוע העמודה השמאלית ביותר מכילה את ריבוע היחס בין צלעות המשולשים. אחד ההסברים הנפוצים הוא שעמודה זו משמשת לחישוב פונקציה טריגונומטרית, שיכולה להיות $\ \sec^2(x)$ או $\ \tan^2(x)$ , בהתאם לתשובה לשאלה האם מופיע 1 מצד שמאל של כל המספרים בעמודה זו או לא. בדיקה של הזוויות שיתנו את התוצאות שבטבלה מעלה כי הן נעות מזווית של 45 מעלות בערך ועד זווית של 31 מעלות בערך, כאשר כל שורה יורדת בערך במעלה. הדבר מאפשר להעלות סברה כי פלימפטון 322 היה חלק מאוסף גדול יותר של טבלאות, ששימשו גם לחישוב הזווית מ-30 ועד 16, ומ-15 ועד 1.

בטבלה הבאה מסוכמות הזוויות עבור כל אחת מהשורות:

מספר השורה	$\ x$	$\ \sec^2(x)$
1	44.76	1.9834
2	44.25	1.94916
3	43.79	1.9188
4	43.27	1.88625
5	42.08	1.81501
6	41.54	1.78519
7	40.32	1.71998
8	39.77	1.6928
9	38.72	1.64267
10	37.44	1.58612
11	36.87	1.5625
12	34.98	1.48942
13	33.86	1.45002
14	33.26	1.43024
15	31.89	1.38716

[עריכה] מספרים הופכיים

דרך נוספת לייצר את המספרים שבטבלה היא באמצעות זוגות של מספרים הופכיים. דרך זו היא פשוטה למדי, ואינה מעידה על רמה מתמטית גבוהה כפי שמעידה הפרשנות של ייצור השלשות הפיתגוריות. יתר על כן, בדרך זו קשה לקבוע כי מטרת הלוח הייתה יצירת שלשות פיתגוריות, וייתכן שהמספרים שבעמודות השנייה והשלישית הם פשוט הפרמטרים של תרגיל חשבוני שמטרתו הייתה מציאת זוגות ההופכיים. בשיטה זו, העמודה הראשונה משמאל מהווה תוצאת ביניים של החישוב, ולא את אחת ממטרותיו.

תהליך ההשלמה לריבוע: מחלקים את המלבן A לריבוע B והמלבן של ההפרש C, חותכים את C לשני חלקים ומזיזים אחד מהם כדי לקבל צורה דמויית L שמושלמת לריבוע גדול בידי הריבוע הקטן D

השיטה היא כלדהלן: בהינתן מספר $\ x$ וההופכי שלו $\ 1/x$ , ניתן להגדיר שני מספרים $\ s=\frac{1}{2}\left(x-1/x\right),d=\frac{1}{2}\left(x+1/x\right)$ . לא קשה לראות שמתקיים הקשר הבא: $\ s^2+1^2=d^2$ כלומר, התקבלה שלשה פיתגורית. על ידי כפל של $\ s,d$ בגורם משותף ניתן להפוך את שניהם למספרים שלמים זרים. בדרך זו ניתן להפיק את כל המספרים שבטבלה באמצעות זוגות של $\ x,1/x$ .

אישוש לכך שזוהי דרך הפעולה ששימשה ליצירת הלוח ניתן למצוא בכך שהתהליך המתואר בו מזכיר את שיטת ההשלמה לריבוע, שהייתה ידועה לבבלים בניסוח גאומטרי. דוגמה לשימוש בשיטה זו ניתן לראות בבעיה הבאה: בהינתן מלבן A ששטחו $\ 1$ וההפרש בין אורך צלעותיו הוא $\ t$ , יש למצוא את הצלעות.

אם נסמן את הצלעות בתור $\ x,1/x$ (סימון עקבי עם נתוני השאלה, כי מכפלת שתי הצלעות היא 1), כך ש- $\ x$ היא הצלע הגדולה יותר, הרי שההפרש בין אורך הצלעות הוא: $\ t=x-1/x$ . ניתן לראות את המלבן בתור ריבוע B שאורך צלעו $\ 1/x$ , ומחובר אליו מלבן C שאורך צלעו האחת $\ 1/x$ ואורך צלעו השנייה $\ t$ . שיטת ההשלמה לריבוע מבוססת על יצירת ריבוע בעזרת המלבן הזה, באופן הבא: חותכים חצי מהמלבן C, מסובבים חתיכה זו ומדביקים אותה לתחתית הריבוע B. קיבלנו צורה שנראית כמו האות L, ושטחה זהה לשטח המלבן A, כלומר הוא 1. כדי להשלים את הצורה הזו לריבוע יש להוסיף את שטח הריבוע ה"דמיוני" D, שאורך צלעו הוא בדיוק $\ t/2=s$ . כלומר, שטח הריבוע הגדול הוא $\ d^2=1+s^2$ . על ידי הוצאת שורש ניתן למצוא את אורך צלע הריבוע הגדול, ועל ידי חיסור התוספת של $\ s$ ניתן לקבל את הערכים $\ x,1/x$ המבוקשים.

בשיטה זו עולים המספרים $\ s,d$ באופן טבעי, כאשר $\ d^2$ (העמודה הראשונה מימין) מופיע כתוצר ביניים של החישוב.

הטבלה הבאה מסכמת את יצירת הלוח בדרך זו:

מספר השורה	$\ x$	$\ 1/x$	$\ s$	$\ d$	$\ d^2$	$\ a$	$\ c$
1	12/5	5/12	119/120	169/120	28,561/14,4000	119	169
2	64/27	27/64	3367/3456	4825/3456	23,280,625/11,943,936	3367	4825
3	75/32	32/75	4601/4800	6649/4800	44,209,201/23,040,000	4601	6649
4	125/54	54/125	12,709/13,500	18,541/13,500	343,768,681/182,250,000	12,709	18,541
5	9/4	4/9	65/72	97/72	9409/5184	65	97
6	20/9	9/20	319/360	481/360	231,361/129,600	319	481
7	54/25	25/54	2291/2700	3541/2700	12,538,681/7,290,000	2291	3541
8	32/15	15/32	799/960	1249/960	1,560,001/921,600	799	1249
9	25/12	12/25	481/600	769/600	591,361/360,000	481	769
10	81/40	40/81	4961/6480	8161/6480	66,601,921/41,990,400	4961	8161
11	2	1/2	3/4	5/4	25/16	45	75
12	48/25	25/48	1679/2400	2929/2400	8,579,041/5,760,000	1679	2929
13	15/8	8/15	161/240	289/240	83,521/57,600	161	289
14	50/27	27/50	1771/2700	3229/2700	10,426,441/7,290,000	1771	3229
15	9/5	5/9	28/45	53/45	2,809/2,025	28	53

נשים לב כי עבור הסבר זה, התיקון שבשורה האחרונה השתנה: במקום לתקן את 53 ל-106, מתקנים את 56 ל-28.

תכונה חשובה נוספת של הטבלה היא שהמיון בה מתבצע על פי ערכו של $\ x$ : הערכים מסודרים בסדר יורד, החל מ-2.4 ועד 1.8. הדבר תורם להשערה לפיה פלימפטון 322 הוא רק חלק מהלוח המקורי. עם זאת, אפשרי גם שהלוח שלם, ושהוא נוצר על ידי העתקה מגרסת טיוטה שכן הכילה את ערכיו של $\ x$ .

פרשנות זו מציגה הסברים לדרך שבה התקבלו השגיאות שבלוח. על פיה, השגיאה שבשורה 13 יכלה להיווצר בדרך הבאה: אם $\ s$ חושב באמצעות הנוסחה $\ s^2=d^2-1$ , ייתכן שיוצר הלוח שכח להוציא שורש מהתוצאה. גם השגיאות שבשורות 2 ו-15 יכולות להיות מוסברות על ידי שגיאה בשלב ההכפלה של $\ s,d$ לקבלת מספרים שלמים זרים, שעליה נוספה שגיאת העתקה.

[עריכה] השוואת הפרשנויות השונות

סדר העמודות: בלוחות דומים לפלימפטון 322, סדר העמודות הוא משמאל לימין - כלומר, העמודות שנמצאות בצד ימין מתבססות על אלו שבצד שמאל. על פי פרשנות השלשות הפיתגוריות ופרשנות הטבלה הטריגונומטרית מתקבל דווקא המקרה ההפוך: עמודה מספר 1, השמאלית ביותר, מתבססת על העמודות שמימינה. לעומת זאת, פרשנות המספרים ההופכיים מציעה תיאור שבו יצירת העמודה הראשונה היא שלב מקדים לייצור שתי העמודות שמימינה.
השגיאות: בניגוד לשתי הפרשנויות האחרות, פרשנות המספרים ההופכיים נותנת הסבר לדרך שבה נוצרו השגיאות, ובפרט מסבירה את השגיאה שבשורה 2.
ראיות היסטוריות: פרשנות השלשות הפיתגוריות אינה נתמכת בראיות היסטוריות נוספות. אחת הסיבות לפרסומו הרב של פלימפטון 322 היא היותו חריג יחסית, שכן לא נמצאו לוחות בבליים אחרים המעידים על היכרות עם נוסחת היצירה של שלשות פיתגוריות, בעוד שלוחות מתמטיים אחרים (למשל, רשימות של מספרים הופכיים) התגלו במספר עותקים.
גם הפרשנות הטריגונומטרית אינה נתמכת בראיות היסטוריות נוספות, ובפרט לא ברור כלל עד כמה היה מושג הזווית ידוע בקרב הבבלים, אם בכלל. בבעיות שעסקו במעגלים, נהגו הבבלים להסתכל על המעגל לא כעל רדיוס המבצע סיבוב, אלא כעל שטח התחום בידי עקומה (למשל, נוסחת שטח העיגול שהייתה ידועה לבבלים אינה מסתמכת על אורך הרדיוס כמו הנוסחה $\ \pi r^2$ של ימינו, אלא על היקף המעגל - $\ c^2/4\pi$ כאשר $\ c$ הוא ההיקף).
לעומתן, הפרשנות של המספרים ההופכיים מגובה בממצאים שמעידים כי מספרים הופכיים היו מוכרים לבבלים, כמו גם השיטה של השלמה לריבוע.
מטרת הלוח: בעוד שהפרשנות הטריגונומטרית ופרשנות השלשות הפיתגוריות מספקות הסבר ברור לייעודו של הלוח, פרשנות המספרים ההופכיים נתקלת בקשיים. אף שניתן לתאר את הלוח ככלי עזר ששימש בהוראת תרגיל חשבון, בהתבסס על כך שאופן יצירתו מזכיר דרכי פתרון שנמצאו על לוחות אחרים, אין בכך כדי להסביר מה הייעוד שמילאו העמודות השנייה והשלישית, שהכילו את השלשות עצמן.

[עריכה] ראו גם

היסטוריה של המתמטיקה

[עריכה] קישורים חיצוניים

פלימפטון 322 מאמר השייך לקורס על ההיסטוריה של המתמטיקה באוניברסיטת קולומביה הבריטית, כולל תיאור מפורט ומצולם של הלוח, ותיאור של פרשנות השלשות הפיתגוריות.
Eleanor Robson and Plimpton 322 - אתר שמגיב על המאמרים האחרונים הטוענים בזכות הפרשנות של המספרים ההופכיים ונגד פרשנות השלשות הפיתגוריות.

[עריכה] לקריאה נוספת

O. Neugebauer, The exact sciences in antiquity, Dover, 1969
R. Creighton Buck, Sherlock Holmes in Babylon, the Mathematical Monthly, 1964.
Robson, Eleanor, "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322", Historia Mathematica, Vol 28, pages 167 - 206, 2001
Robson, Eleanor, "Words and pictures: New light on Plimpton 322", American Mathematical Monthly, Feb 2002.