סריג הופכי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

סריג הופכי של סריג ברווי מסוים הוא מעין התמרת פורייה לסריג ברווי, שלה יש חשיבות רבה בפיזיקה במחקר קריסטלוגרפיה באמצעות ניתוח פיזורי קרינה ושיאי בראג.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
2 בניית הסריג ההפכי
3 סריגים הופכיים של סריגי ברווי נפוצים
4 שימושים
5 ראו גם

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהי L סריג ברווי. אזי הסריג ההפכי שלו *L מוגדר להיות קבוצת כל הווקטורים $\vec{k}$ שמקיימים:

$\ \forall \vec{R} \in L \ : \ e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}=1$

הסריג ההופכי הוא בעצמו סריג ברווי, והסריג ההפכי של הסריג ההפכי הוא הסריג המקורי, כלומר: $\ (L^*)^* = L$ .

נהוג לומר שוקטורים בסריג המקורי הם "במרחב הממשי" או "בסריג הישר" ואילו וקטורים בסריג ההפכי הם "במרחב k" או "במרחב הגל".

[עריכה] בניית הסריג ההפכי

עבור סריג תלת-ממדי אפשר להציג בניה מפורשת של הסריג ההפכי. בנייה זו שקולה להגדרת הסריג ההפכי ונוחה כי קל לחשב אותה.

נניח שסריג ברווי שלנו L נוצר על ידי הבסיס הפרימיטיבי הבא $(\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, \vec{a_{3}})$ אזי הסריג ההפכי *L יווצר על ידי הבסיס הפרימטיבי המוגדר להלן:

$\vec{b_{1}}=2 \pi \frac{\vec{a_{2}} \times \vec{a_{3}}}{\vec{a_{1}} \cdot (\vec{a_{2}} \times \vec{a_{3}})}$

$\vec{b_{2}}=2 \pi \frac{\vec{a_{3}} \times \vec{a_{1}}}{\vec{a_{1}} \cdot (\vec{a_{2}} \times \vec{a_{3}})}$

$\vec{b_{3}}=2 \pi \frac{\vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}}}{\vec{a_{1}} \cdot (\vec{a_{2}} \times \vec{a_{3}})}$

ואז מתקיימת "אורתוגונליות" בין הבסיסים במובן הבא:

$\ \vec{a_i} \cdot \vec{b_j} = 2 \pi \delta_{ij}$

כאשר $\ \delta_{ij}$ היא הדלתא של קרונקר.

כדאי לשים לב שעד כדי סימן, הביטויים במכנה של הבסיס ההפכי הם נפח תא יחידה פרימיטיבי בסריג המקורי L. עובדה זו מקלה על חישוב הבסיס ההפכי (שכן את הסימן של כל וקטור קובעים לפי תנאי ה"אורותוגנליות" לעיל).

כל נקודה (hkl) בסריג ההפכי מתאימה לקבוצה של מישורי סריג מקבילים (hkl) במרחב הישר (כלומר: בסריג האמיתי). הכיוון של וקטור הסריג ההפכי שווה לכיוונו של הווקטור הנורמלי בין המישורים, וגודלו שווה להפכי של המרחק בין שני מישורים סמוכים (כלומר: מידת הריווח בין המישורים).

אזור ברילואן הוא תא יחידה פרימיטיבי של הסריג ההפכי.

[עריכה] סריגים הופכיים של סריגי ברווי נפוצים

הסריגים ההופכיים של קבוצת הסריגים הקוביים קלה לחישוב.

סריג קובי פשוט

קל לראות מהבניה המפורשת שהסריג ההפכי של סריג קובי פשוט בעל צלע באורך a הוא סריג קובי פשוט בעל צלע באורך $\ 2 \pi / a$ . כלומר: עד כדי שינוי סקלה, הסריג הקובי הוא ההפכי של עצמו.
סריג קובי ממורכז-פאה (FCC)

הסריג ההפכי של FCC הוא סריג BCC (ממורכז תא).
סריג קובי ממורכז-תא (BCC)

הסריג ההפכי של BCC הוא סריג FCC.

באופן כללי, עבור סריגים שהווקטורי הבסיס הפרימיטיביים שלהם אורתוגונלית (כלומר: כולם ניצבים אחד לשני) הסריג ההפכי יורכב גם הוא ממערכת וקטורים אורתוגונלית, באותן כיוונים (כל וקטורי הופכי מקביל למתאים לו בסריג המקורי), אך בסקלה אחרת. כלומר: $\ \vec{a_i} = \| a_i \| \hat{e_i}$ יעבור ל $\ \vec{b_i} = ( 2 \pi / \| a_i \| ) \hat{e_i}$ .

הסריג ההפכי של סריג משושה הוא סריג משושה המסובב בזווית 30 מעלות (ובסקלה אחרת, כמובן).

[עריכה] שימושים

הסריג ההפכי הוא בעל תפקיד מרכזי במרבית הניתוחים האנליטיים של מבנים מחזוריים, ובפרט בגבישים. התופעה היסודית ביותר בה מופיע הסריג ההפכי היא עקיפה דרך סריג ברווי. בעקיפת קרני X דרך סריג ברווי (בהזנחת תנודות תרמיות של הגביש), הפרש התנע בין הקרן הפוגעת לקרן היוצאת הוא וקטור סריג הפכי. עובדה זו מאפשרת להשתמש בתבנית העקיפה כדי למצוא את וקטורי הסריג ההפכי ומכאן את מבנהו. באמצעות ידיעת הסריג ההפכי ניתן לחשב את המבנה האמיתי של הסריג הישר ובכך למפות את הגביש.