ספירה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק במושג גאומטרי. לערך העוסק במושג הקבלי המתאר את השתלשלות האלוהות, ראו בערך מושגי יסוד בקבלה.

ספֵירה היא השפה של כדור תלת ממדי.

תוכן עניינים

1 גאומטריה
- 1.1 משוואות
- 1.2 מושגים קשורים
2 הכללות
3 ראו גם

[עריכה] גאומטריה

במרחב האוקלידי התלת ממדי ספירה היא קבוצת כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה - מרכז הספירה - הוא קבוע, r. המספר החיובי r נקרא הרדיוס של הספירה. כאשר r=1 הספירה נקראת ספירת היחידה.
אפשר ליצור ספירה גם על ידי סיבוב מעגל סביב הקוטר שלו. במקרה הזה רדיוס הספירה יהיה כרדיוס המעגל. אם היינו מסובבים אליפסה סביב אחד מציריה היינו מקבלים אליפסואיד.

[עריכה] משוואות

לפי נוסחת המרחק האוקלידי מתקבלת המשוואה הבסיסית לספירה שמרכזה בנקודה $\ (x_0 , y_0 , z_0 )$ ורדיוסה r:

$(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2 \,$

הצגה פרמטרית של נקודות הספירה באמצעות שתי זוויות:

$x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \phi$

$y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \phi \,$

$z = z_0 + r \cos \theta \,$ (כאשר $0 \leq \theta \leq \pi$ , $-\pi < \phi \leq \pi$ )

הצגה כזו נקראת הצגה ספיראלית.

[עריכה] מושגים קשורים

שתי נקודות על הספירה נקראות נקודות אנטיפודיות אם הקו הישר שעובר דרכן הוא קוטר. לכל נקודה על הספירה קיימת נקודה אנטיפודית יחידה, והמרחק ביניהן הוא המרחק המקסימלי בין כל שתי נקודות על הספירה. אם מרכז הספירה הוא ראשית הצירים אז הנקודה האנטיפודית ל- $\vec x$ היא פשוט $-\vec x$ .

[עריכה] הכללות

[עריכה] הספירה ה-n ממדית

ניתן להכליל את הספירה על ידי ההצגה הגאומטרית שלה כשפה של הכדור התלת ממדי. לכל n טבעי הספירה ה-n ממדית מוגדרת להיות השפה של הכדור ה-n+1 ממדי (תמיד ממד הכדור שהספירה חוסמת גדול באחד ממד הספירה). ממד זה הוא ממד הספירה כיריעה טופולוגית. כך מתקבל (עבור הרדיוס r):

הספירה ה-0 ממדית היא זוג הנקודות {r,-r}
הספירה החד-ממדית היא המעגל ברדיוס r.
הספירה הדו-ממדית היא הספירה הרגילה, מעטפת הכדור התלת ממדי.
הספירה התלת ממדית היא אוסף נקודות במרחב הארבע-ממדי שמרחקן ממרכז הספירה הוא r.

את ספירת היחידה ה-n ממדית מסמנים ב- $\mathbb{S}^n$ . כל הספירות ה-n ממדיות דיפאומורפיות ולכן ברב השימושים אין הבדל בין ספירה כלשהי לספירת היחידה. לפי נוסחת המרחק האוקלידי ספירת היחידה ה-n ממדית שממורכזת בראשית הצירים היא:

$\mathbb{S}^n=\ \{ (x_1,x_2, \dots , x_n, x_{n+1} ) \in \mathbb{R}^{n+1} |\ \sum_{i=1}^{n+1} x_i ^2 =1 \ \}$

[עריכה] ספירה במרחבים מטריים

הספירה מוגדרת כאוסף הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, הוא קבוע. בהתאם לכך הכללת מושג הספירה למרחב מטרי כללי X היא טבעית- הספירה שמרכזה x ורדיוסה r היא אוסף כל הנקודות שמרחקן מ-x הוא בדיוק r.

$\ S(x,r)= \left\{ y\in X : d(x,y) =r \right\} = \partial B(x,r)$

זוהי קבוצה סגורה וחסומה. ייתכן שהספירה תהיה קבוצה ריקה, כך לדוגמה במרחב $\Z^2$ עם המטריקה האוקלידית הספירה (S(0,3 היא קבוצה ריקה כי לא קיימים $x,y \in \Z$ כך ש- $\ x^2 + y^2 = 3^2=9$ .

[עריכה] ספירות טופולוגית

קבוצה במרחב טופולוגי כללי נקראת ספירה n-ממדית אם היא הומאומורפית לספירה ה-n ממדית במרחב האוקלידי. ככזו היא יריעה טופולוגית מממד n, אבל לא בהכרח חלקה. יתר על כן קיימות ספירות טופולוגיות שהן גם יריעות חלקות, אבל אינן דיפאומורפיות לספירה ה-n ממדית הרגילה.