משפט לגראנז' (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משפט לגראנז' הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שאם $\ G$ חבורה סופית ו- $\ H\subseteq G$ תת חבורה שלה, אז הסדר של $\ H$ מחלק את הסדר של $\ G$ , כלומר $\ \frac{|G|}{|H|}$ הוא מספר שלם.

מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על-ידי x היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של x). במלים אחרות, אם $\ G$ חבורה סופית אז $\ x^{|G|}=1$ לכל $\ x\in G$ . עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים.

אם $\ G$ חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את $\ |G|$ . תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות - הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות $\ A_4$ , שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.

[עריכה] הוכחת המשפט

לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של $\ H$ מהווה חלוקה של $\ G$ , ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזה שווה לסדר של $\ H$ .

נראה ראשית כי היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" הוא יחס שקילות. נגדיר את היחס בצורה פורמלית: $aRb \iff aH=bH$ . נשים לב כי

$aH=bH\iff \exists h_1,h_2:a\cdot h_1=b\cdot h_2 \iff a\cdot b^{-1}=h_2\cdot h_1^{-1}\isin H$

כלומר, $aRb \iff ab^{-1}\isin H$ , או במילים אחרות, a ו-b באותה מחלקה של H אם ורק אם ההפרש שלהם שייך ל-H.

כעת נוכיח את התכונות הנדרשות מיחס שקילות:

רפלקסיביות: $\ aa^{-1}=e\isin H$ כי $\ H$ תת חבורה ולכן מכילה את האיבר האדיש. לכן $\ aRa$ .
סימטריות: נניח כי $\ aRb$ , כלומר $\ ab^{-1}=h\isin H$ , אז $\ \left(ab^{-1}\right)^{-1}=h^{-1}\isin H$ , כלומר $\ ba^{-1}=h^{-1}\isin H$ ולכן $\ bRa$ .
טרנזיטיביות: נניח כי $\ aRb,bRc$ , כלומר $\ ab^{-1}=h_1,bc^{-1}=h_2$ . מסגירות $\ H$ נקבל:

$\ ac^{-1}=ab^{-1}\cdot bc^{-1}=h_1\cdot h_2 \isin H$

כלומר, $\ aRc$ .

הראינו כי $\ R$ יחס שקילות, לכן הוא משרה חלוקה של $\ G$ למחלקות שקילות זרות. מכיוון שהיחס הוא של שייכות למחלקה שמאלית, הרי שמחלקות השקילות הן בדיוק כל המחלקות השמאליות של $\ H$ .

כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של $\ H$ שווה לסדר $\ H$ . לשם כך נבנה התאמה חד-חד ערכית מ $\ H$ על מחלקה $\ aH$ כלשהי שלה.

ההתאמה $\ f:H\rarr aH$ תיבנה כך: $\ f(h)=ah$ .

נראה כי זו התאמה חד-חד ערכית: נניח כי $\ f(h_1)=f(h_2)$ אז $\ ah_1=ah_2$ ואחרי צמצום נקבל $\ h_1=h_2$ .

נראה כי זו התאמה על: יהי $\ x\isin aH$ , אז על פי הגדרת המחלקה, $\ \exists h\isin H:x=ah$ ולכן $\ f(h)=x$ .

על כן, הקבוצות $\ H$ ו- $\ aH$ שקולות, כלומר $\ |H|=|aH|$ .

כעת, לכל איבר ב $\ G$ ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של $\ H$ . לכן מספר האיברים ב $\ G$ הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של $\ H$ . יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב $\ G$ . יהי $\ k$ מספר המחלקות, אז $\ k\cdot |H|=|G|$ , כלומר סדר $\ H$ מחלק את סדר $\ G$ ובכתיב מתמטי $\ |H|||G|$ , והוכחת המשפט הושלמה.