מי שהיה נשוי שלוש נשים
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מי שהיה נשוי (ל)שלוש נשים הוא משפט הפתיחה של משנה במסכת כתובות (י, ד), העוסקת בחלוקת עיזבונו של אדם בין שלוש אלמנותיו. במשנה מוצג אופן החלוקה בשלושה מקרים שבהם העיזבון אינו גדול דיו כדי לכסות את הסכום שהובטח בכתובה לכל אחת מהנשים. פרשני המשנה התקשו למצוא את הכלל המנחה שעל פיו נקבעו מקרים אלו, והמשנה נותרה ללא פירוש משביע רצון. בשנת 1985 הציעו ישראל אומן ומיכאל משלר פיתרון אפשרי לבעיה, שמבוסס על הכללת שיטת החלוקה שמתוארת במשנה שניים אוחזין, הפותחת את מסכת בבא מציעא. הפיתרון הוא חדשני בכך שהוא מחיל כלים מתורת המשחקים המודרנית (תחום התמחותו של אומן) על טקסט מן המשנה.
תוכן עניינים |
[עריכה] תיאור המשנה
במשנה עצמה נאמר:
| מי שהיה נשוי שלש נשים ומת, כתובתה של זו מנה ושל זו מאתים ושל זו שלש מאות ואין שם (בעיזבונו) אלא מנה - חולקין בשוה; היו שם מאתים - של מנה נוטלת חמשים, של מאתים ושל שלש מאות שלשה שלשה של זהב; היו שם שלש מאות - של מנה נוטלת חמשים ושל מאתים מנה ושל שלש מאות ששה של זהב | ||
| -- משנה כתובות, י, ד | ||
שוויו של ה"מנה" הוא מאה דינרי כסף, ושוויו של דינר זהב הוא 25 דינרי כסף. מכאן שניתן לסכם את הכלל שמוצג במשנה באמצעות טבלה:
| הכתובה | ||||
| 100 | 200 | 300 | ||
| גודל העיזבון |
100 |  |
|
|
| 200 |  |
 |
|
|
| 300 | |
 |
 |
|
העיקרון הכללי שמנחה את החלוקה אינו ברור. כאשר גודל העיזבון הוא 100, מתבצעת חלוקה שווה - כל אחת מהנשים מקבלת אותו הסכום מהעיזבון. כאשר גודל העיזבון הוא 300, מתבצעת לכאורה החלוקה על פי כלל אחר - כל אישה מקבלת סכום השקול לגודלה היחסי של כתובתה. במקרה שבו גודל העיזבון הוא 200, לא ברור אם יש כלל פשוט שיסביר את החלוקה המתקבלת, שבה מקבלות שתי הנשים בעלות הכתובה הגבוהה יותר סכום זהה, הגדול מזה של בעלת הכתובה הקטנה יותר.
[עריכה] ההסבר בתלמוד ופרשניו
התלמוד הבבלי (צג, א) מתקשה בהסברה של המשנה, ומעמיד אותה כמתקיימת במקרים חריגים בלבד. שיטתו של האמורא שמואל היא שהדין אמור רק במקרים שבהם בעלת אחת הכתובות מוותרת לשנייה (או לשתי האחרות) על הסכום שזו תובעת. משמו של רבינא מובאת הדעה שהמשנה עוסקת במקרה שבו האלמנות החילו את כסף הכתובה על מטלטלין פעמיים ("בשתי תפיסות"), כך שהדיון אינו נערך בבת אחת, אלא כל פעם על סכום אחר. בסופו של הדיון נאמר שדין המשנה אינו מוסכם, ומובאת דעתו של רבי יהודה הנשיא, שמציע חלוקה שווה בשווה: "תניא: זו משנת רבי נתן. רבי אומר: אין אני רואה דבריו של רבי נתן באלו, אלא חולקות בשוה".
פירוש המשנה עורר קושי גם בין פרשני המשנה והתלמוד המאוחרים יותר, שלא מצאו לה פתרון המניח את הדעת. לדוגמה, הרי"ף, שבדרך כלל מסתפק בציטוט קטעים נבחרים מהגמרא, הקדיש לסוגיה כמעט שלושה עמודים, ופתח במילים "הא מתניתין וגמרא דילה שקלי וטרו בה קמאי ז"ל, ולא סלקא להון כל עיקר" ("משנה זו והגמרא שלה נשאו ונתנו בה הקדמונים ז"ל, ולא עלתה בידם כל עיקר").
[עריכה] שיטתם של אומן ומשלר
ישראל אומן החל לעסוק במשנה לאחר שבנו שלמה הביא אותה לתשומת לבו, בעת דיון שניהלו השניים על מאמר [1] שעסק במספר בעיות תלמודיות אחרות. אומן, יחד עם מיכאל משלר, ניסה לפתור את הבעיה באמצעות כלים מתורת המשחקים, שלא היו זמינים למפרשי התלמוד וסייעו לשפוך אור חדש על הבעיה. התברר כי החלוקה שמוצגת במשנה תואמת את אחת משיטות הפיתרון שבהן עוסקת תורת המשחקים - שיטה המבוססת על מושג הנקרא "הגרעינון של משחק". אף שהמושג מורכב למדי ולא סביר שהיה מוכר לכותבי המשנה, ניתוח התכונות שלו סייע במציאת העיקרון שכנראה הנחה את המשנה.
בשנת 1985 פרסמו אומן ומשלר מאמר בכתב העת Journal of Economic Theory שבו הציגו את הבעיה והציעו לה פתרון, אשר מתבסס על שיטת החלוקה המוצגת במשנה "שניים אוחזין" שבמסכת בבא מציעא. במשנה זו נאמר:
| שנים אוחזין בטלית... זה אומר: כולה שלי. וזה אומר: חציה שלי... זה נוטל שלשה חלקים, וזה נוטל רביע | ||
| -- משנה בבא מציעא, א, א | ||
כאן מוצג מקרה פשוט יותר, שניתן גם להיות מוחל על חלוקת חוב בין שני נושים. כלל החלוקה במקרה זה הוא של חלוקה שווה של הסכום השנוי במחלוקת: האדם שטוען לבעלות על מחצית מהטלית מסכים כי המחצית השנייה שייכת לאדם השני, ולכן הסכום השנוי במחלוקת במקרה זה הוא רק מחצית הטלית. מחצית זו מחולקת שווה בשווה בין שני הנושים - וכך האחד נותר עם רבע טלית, והשני עם שלושת רבעי טלית.
אומן ומשלר שמו לב לכך שהחלוקה המוצעת במשנה של שלוש הנשים מקיימת את התכונה הבאה: לכל זוג אלמנות מתקיימת חלוקה על פי כלל "שניים אוחזין", אם מחלקים ביניהן את הסכום שנותר לאחר שהאלמנה השלישית קיבלה את חלקה.
למשל, במקרה שבו גודל העיזבון הוא 200, אם נותנים לאלמנה השלישית את הסכום שהובטח לה בחלוקה - 75 - נותרים עם סכום של 125 לחלק בין שתי הנותרות. מכיוון שהאישה הראשונה תובעת סכום של 100 והשנייה סכום של 200, ישנם 25 זוזים שאינם שנויים במחלוקת (האישה הראשונה מסכימה שהם שייכים לאישה השנייה) ולכן על פי שיטת "שניים אוחזין", 100 הזוזים השנויים במחלוקת יתחלקו שווה בשווה בין שתי הנשים. לכן הראשונה תקבל 50 והשנייה תקבל בסך הכל 75 - בדיוק כפי שמוצג בטבלה.
בדומה, אם נותנים לאלמנה הראשונה את הסכום שהובטח לה בחלוקה - 50 - נותרים עם סכום של 150 לחלק בין שתי הנותרות. במקרה זה כל הסכום שנוי במחלוקת (כי האחת דורשת 200 והשנייה 300) ולכן כולו יתחלק שווה בשווה, ושוב תתקבל החלוקה שכבר כתובה בטבלה. לא קשה לראות כי תכונה זו מתקיימת לכל זוג אפשרי מתוך הטבלה.
בעקבות גילוי זה הגדירו אומן ומשלר חלוקה כתואמת שניים אוחזין אם התכונה הזו מתקיימת עבורה - כלומר, אם לכל זוג נושים, הסכום מתחלק ביניהם על פי שיטת שניים אוחזין. הם הוכיחו כי לכל גודל של עיזבון ולכל מספר של נושים קיימת חלוקה שהיא תואמת שניים אוחזין, וכי החלוקה הזו היא יחידה, דהיינו שאין שיטה אחרת שתוכל לתאום לחלוקה זו לכל מצב. כמו כן, הם הציעו שיטה לחשב אותה באופן מעשי.
[עריכה] שיטת החלוקה והוכחת נכונותה
ניתן להמחיש בצורה ויזואלית את שיטת החלוקה, כמו גם להוכיח אותה, באמצעות חוק הכלים השלובים. בצורה זו מדמים את העיזבון לכמות מסוימת של נוזל שאותו שופכים לכלים מיוחדים. לכל אישה יש כלי משלה, והקיבולת של הכלי נקבעת על פי גודל הכתובה של האישה. אם מחברים את כל הכלים יחד, נובע מחוק הכלים השלובים שלאחר שפיכת כל העיזבון לכלים, כל אישה תקבל בדיוק את המגיע לה.
כדי לראות מדוע זה נכון, ראשית יש לבדוק את המקרה שבו ישנן שתי נשים בלבד. במקרה זה יהיו שני כלים, אשר יהיו מחוברים בתחתיתם על ידי צינורית דקה, שכמות הנוזל שנמצאת בתוכה היא זניחה. כל כלי בנוי משני חלקים זהים בגודלם המחוברים על ידי צינורית דקה, שגם עבורה, כמות הנוזל הנמצאת בתוכה זניחה. שני הכלים זהים בגובהם הכולל וברוחבם - ההבדל היחיד הוא בגובהם של שני החלקים ושל הצינורית (ראו איור). על פי חוק הכלים השלובים, לאחר שיימזג הנוזל אל שני הכלים, גובהו יהיה זהה בשניהם. כעת ניתן להבחין בין שלושה מקרים אפשריים:
[עריכה] מקרה א'
במקרה א', העיזבון קטן יותר מכל אחת מהכתובות של הנשים. באיור הדבר מתבטא בכך שגובה פני הנוזל לא מגיע אף למחצית הכלי הקטן יותר. ברגע שבו יגיע הנוזל למחצית הכלי הקטן, מכיוון שרוחבם של הכלים זהה וגובה פני הנוזל זהה בשני הכלים, נובע כי כמות הנוזל שנמצאת בכל אחד משני הכלים שווה. כלומר - ננקט העיקרון של חלוקה שווה של העיזבון, בהתאם לכלל שנגזר מ"שניים אוחזין" עבור המקרה שבו כל הסכום שנוי במחלוקת.
החלוקה השווה של הנוזל בין הכלים נפסקת בדיוק כאשר מתמלא חלקו התחתון של הכלי הקטן. כאשר זה קורה בדיוק כאשר הכמות הכוללת של הנוזל שבשני הכלים גם יחד שווה לקיבול הכלי הקטן כולו - כלומר, כאשר גודל העיזבון הוא כגודל הכתובה הקטנה יותר.
[עריכה] מקרה ב'
במקרה ב', העיזבון גדול מהכתובה של האישה הראשונה, אך קטן מהכתובה של האישה השנייה. כאן ניתן להבחין בשני מצבים שונים בכלים השלובים: בראשון, הנוזל לא ממלא לחלוטין את חציו התחתון של הכלי הגדול יותר, ובשני הוא ממלא בחלקו כבר את החצי השני, אך עדיין לא מתחיל למלא את החצי השני של הכלי הקטן יותר. בכל המקרים הללו העיקרון דומה: כל הנוזל שמתווסף בשלב זה מתווסף רק לכלי הגדול יותר (שכן בכלי הקטן יותר הדבר היחיד שמתמלא הוא הצינורית, שאנו מניחים שמכילה כמות זניחה של נוזל).
הדבר מתאים לחלוקה שאמורה להתקיים בשלב זה: העיזבון גדול מהכתובה של האישה הראשונה, והיא אינה מתייחסת לסכום הנוסף כאל סכום שנוי במחלוקת, ולעומת זאת האישה השנייה תובעת גם אותו, ולכן כולו הולך אל האישה השנייה.
[עריכה] מקרה ג'
המקרה השלישי הוא המורכב מבין השלושה. כאן העיזבון הכולל גדול הן מהדרישה של האישה הראשונה והן מהדרישה של האישה השניה (אך עדיין אינו גדול מספיק כדי לכסות את הדרישות של שתי הנשים גם יחד). בתור דוגמה ניתן להתבונן במצב בו שתי הכתובות הן בסך 100 ו-150, ואילו העיזבון הוא בגודל 200. במקרה זה האישה הראשונה (הקו האדום באיור) דורשת 100 זוזים בלבד ולכן היא מוותרת לרעותה על ה-100 הנותרים, והשנייה (הקו הכחול באיור) לוקחת 150 בלבד ולכן מוותרת לרעותה על ה-50 הנותרים. לכן נותרו 50 זוזים בלבד השנויים במחלוקת (באיור - שטח החפיפה בין שתי הדרישות), שמחולקים שווה בשווה (והחלוקה המתקבלת היא 75 לראשונה, 125 לשניה).
בדוגמה ניתן לראות כי ההפרש בין הכתובות הוא גם ההפרש בין החלוקה שבוצעה. לא קשה להוכיח כי זוהי תכונה כללית המאפיינת את מקרה ג', וקל לראות כי תכונה זו מתקיימת גם עבור הכלים: ההפרש בין כמות הנוזלים שבשני הכלים הוא בדיוק ההפרש בנפח המקורי שלהם, שבא לידי ביטוי בחלק האמצעי של הכלים (שבו יש צינורית בלבד עבור הכלי הקטן יותר, אך חלק מכלי הקיבול עבור הכלי הגדול יותר).
[עריכה] החלוקה במקרה הכללי
הכללה של הבעיה, שבה יש קבוצה מגודל כלשהו של נשים שלכל אחת כתובה משל עצמה, אינה שונה בבסיסה מהמקרה הפרטי של שתי נשים. גם במקרה זה, כל כתובה מתוארת על ידי כלי שמורכב משני חצאים המחוברים בצינורית, וגם כאן כל הכלים הם בעלי אותו גובה ורוחב ומחוברים בינם ובין עצמם. החלוקה מתבצעת על ידי "שפיכת" העיזבון לכלים, כך שעל פי חוק הכלים השלובים, גובה פני הנוזל בכל הכלים יהיה זהה.
בכדי להיווכח כי החלוקה שמושרית על ידי הכלים היא אכן "תואמת שניים אוחזין", די לראות כי אם בוחנים כל זוג כלים בנפרד ומנתקים אותו מהיתר, שני הכלים מתאימים לאחד משלושת המקרים שתוארו למעלה, ולכן מצייתים לכלל "שניים אוחזין". יתר על כן, ברור כי החלוקה שמושרית על ידי הכלים היא החלוקה היחידה שמקיימת את התכונה הזו - בכל חלוקה אחרת גובה פני הנוזל לא יהיה אחיד לכל הכלים, וכשנבחן זוג כלים שבו פני הנוזל אינם באותו הגובה נקבל שבזוג כלים זה החלוקה אינה על פי "שניים אוחזין".
[עריכה] תיאור פורמלי של שיטת החלוקה
אף שההמחשה באמצעות חוק הכלים השלובים שהוצגה קודם מסייעת רבות להבנת הפתרון, היא אינה מאפשרת ישירות את ביצוע החישוב שמוצא, בהינתן אוסף כתובות וגודל עיזבון, את החלוקה המבוקשת. להלן אלגוריתם שעושה זאת:
האלגוריתם מפריד בין שני מקרים - במקרה הראשון, העיזבון קטן יותר ממחצית סכום כל הכתובות, ובשני הוא גדול יותר. במקרה הראשון מתחילים ממצב בו "הכלים ריקים" - אף אישה לא קיבלה דבר. בכל סיבוב של האלגוריתם, מחולק זוז נוסף מהעיזבון שווה בשווה בין כל הנשים, עד אשר חולק סכום השווה למחצית הכתובה של האישה בעלת הכתובה הקטנה ביותר (כלומר, החצי התחתון של הכלי שלה התמלא). לאחר מכן ממשיכים את החלוקה שווה בשווה בין שאר הנשים עד אשר מחולק להן סכום השווה למחצית הכתובה השנייה בקוטנה, ואז מוציאים גם אותה מהחלוקה, וכן הלאה.
הטיפול במקרה השני דומה, אלא שבמקרה זה מתחילים ממצב בו "הכלים מלאים" - כל הנשים קיבלו את כל כתובתן, ומתחילים לחסר מהן שווה בשווה, כאשר מפסיקים לחסר מאישה שהגיעה למחצית כתובתה.
[עריכה] הערות שוליים
- ^ A problem of rights arbitration from the Talmud. O'Neill, Barry. Mathematical Social Sciences, 1982, vol. 2, issue 4, pages 345-371
[עריכה] קישורים חיצוניים
- מי שהיה נשוי שלוש נשים, המשנה והגמרא בתלמוד בבלי
- מי שהיה נשוי שלוש נשים, המשנה והגמרא בתלמוד ירושלמי
- מאמר לא טכני של אומן המיועד לקהל הלמדני
- תורת המשחקים ודיני פשיטת רגל, עיבוד למאמרו של אומן, מתוך אתר "דעת"
- המאמר המתמטי המקורי של אומן ומשלר
- אשה אחת מקבלת 75 זוז, אשה שנייה מקבלת 50 - וזה מדעי - מתוך אתר "הארץ"
