מה אמר הצב לאכילס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מה אמר הצב לאכילס (What the Tortoise Said to Achilles) הוא דיאלוג הומוריסטי באופיו מאת לואיס קרול שנכתב בשנת 1895 ומצביע על פרדוקס ביסודות הלוגיקה. ההשראה לדיאלוג לקוחה מהפרדוקסים של זנון, שבהם מופיעות דמויותיהם של הצב ושל אכילס. בדיאלוג מנסה אכילס לשכנע את הצב לקבל את נכונותו של היקש מסוים הנובע משתי אקסיומות, אך הצב מראה שכדי לעשות זאת עליו להניח אינסוף אקסיומות נוספות.

הדיאלוג של קרול מצביע על כך שאקסיומות לוגיות מפורשות אינן יכולות להספיק כדי להוכיח טענות, ובמקומן יש להפעיל אקסיומות סכמטיות כגון מודוס פוננס: לכל שני משפטים x ו- y, הכלל מאפשר לגזור מן ההנחות 'x' ו- 'אם x אז y' את המסקנה y.

[עריכה] תקציר הדיאלוג

הצב מציג לאכילס שלושה טיעונים של אוקלידס, שהשלישי שבהם נגזר לכאורה משני הראשונים:

A) דברים השווים לאותו דבר, שווים האחד לשני.

B) שני הצדדים של משולש זה שווים לאותו דבר.

Z) שני הצדדים של משולש זה שווים האחד לשני.

הצב עושה הצרות מאתגר את אכילס בכך שהוא טוען שגם אם הוא מקבל את נכונות A,B הוא עדיין אינו צריך לקבל את נכונות Z, אף שהדבר נובע מכללי ההיסק המקובלים. הוא מבקש מאכילס לשכנע אותו בעזרת הלוגיקה ש-Z הוא אמיתי.

אכילס מצביע על כך שניתן לנסח בצורה פורמלית את כלל ההיסק:

C) אם A,B אמיתיים, אז Z אמיתי.

לטענת אכילס כל שעל הצב לעשות הוא לקבל את הטיעון הזה כדי להשתכנע בנכונות Z. הצב אומר שיסכים לקבל את נכונות C ברגע שבו ירשום אכילס אותו במחברת שלו. משאכילס עושה זאת הוא טוען שעל הצב כעת לקבל את Z, אולם הצב מערים קושי חדש: הוא טוען כי "אם A,B,C נכונים אז Z נכון" הוא טיעון נוסף שיש לקבל, והוא דורש מאכילס לכתוב גם אותו במחברת.

כך נמשך התהליך לאין קץ, כשבכל פעם מתווסף טיעון חדש שאומר שאם כל הטיעונים הקודמים נכונים, אז Z נכון, אולם הצב דורש לכתוב גם את הטיעון הזה במחברת. בשל ההכרח לכתוב את כל הטענות במחברת אכילס מסוגל לכתוב רק מספר סופי של טיעונים בכל שלב, ולכן לעולם לא יצליח לשכנע את הצב.

[עריכה] פראפראזות ספרותיות

דגלאס הופשטטר, בספרו הנודע Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, שיצא לאור בשנת 1979, ממשיך את הרעיון של קרול, ובתחילת כל פרק בספרו נותן שיחה משעשעת וחריפה בין אכילס והצב (בתחילת הספר מופיע הדיאלוג המקורי של קרול). לעתים מצטרפים לשיחה גיבורים נוספים, כגון דוב נמלים וסרטן.

מיכאל אברהם, בספריו שתי עגלות וכדור פורח ואת אשר ישנו ואשר איננו, ממשיך את סדרות הדיאלוגים בין הצב ואכילס, ובהם הצב מייצג את הגישה הסינתטית לעומת אכילס האנליטי.