הפרדוקס של בנך-טרסקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

הפרדוקס של בנך-טרסקי (Banach-Tarski) הוא משפט מתמטי, הקובע כך: אפשר לחלק כדור לעשרה נתחים זרים (כל נקודה שייכת בדיוק לנתח אחד), להפריד אותם ולסובב כל אחד מהחלקים, ואז להרכיב מחמשת החלקים הראשונים כדור ראשון ומחמשת החלקים האחרונים כדור שני, שיהיו זהים לכדור המקורי.

המשפט מוכח בהסתמך על אקסיומת הבחירה, ואפשר לראות בו ראיה לכך שהאקסיומה אינה סבירה (שהרי היא מובילה לתוצאות אבסורדיות). המשפט אינו נכון אם לא מניחים שאקסיומת הבחירה תקפה.

אחת התוצאות מן ה'פרדוקס' היא שלא קיימת מידה אינווריאנטית לסיבובים, המוגדרת על כל תת-הקבוצות של (המעטפת) של כדור היחידה. בניסוח פחות מתמטי, אפשר להקשות על המשפט של בנך-טרסקי: כמה שוקל הכדור המקורי? (נאמר) קילוגרם אחד. וכמה שוקלים שני הכדורים החדשים? שני קילוגרם. איך זה יתכן? כמה שוקלים עשרת הפלחים יחד? לפני הסיבוב - קילוגרם אחד, ואחריו - שניים. אם כך, כמה שוקל הפלח הראשון לפני הסיבוב? התשובה לתהיה זו היא ש(אם מאמינים באקסיומת הבחירה), אין שום מובן מתקבל על הדעת של המלה 'שוקל' שיאפשר לנו לענות על השאלה. לפלחים הבודדים אין משקל.

ההוכחה מבוססת על העובדה שחבורת הסימטריה של כדור היחידה (החבורה $\ O_3(\mathbb R)$ ) מכילה תת-חבורה חופשית G. כדי להוכיח את המשפט יש לבחור נקודה אחת מכל מסלול של הכדור תחת הפעולה של G (כאן יש להפעיל את אקסיומת הבחירה). בתוצאות דומות לזו מטפלים באמצעות המושג פעולה פרדוקסלית.