אופני תנודה עצמיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מספר אופני תנודה בסריג חד-ממדי

אופני תנודה (או אופני תנודה עצמיים) במערכת מתנודדת (בדרך כלל אוסף של אוסצילטורים הרמוניים מצומדים) הם פתרונות מיוחדים בהם כל הרכיבים מתנודדים באותה תדירות (נקראות "תדירויות עצמיות" או "תדירויות מותרות"). הקונספט של אופני תנודה הוא בעל חשיבות רבה בתורת הגלים, אופטיקה, הנדסת חשמל ומכניקת הקוונטים.

מציאת אופני תנודה מנצלת את כוחה של האלגברה הלינארית המיושמת לגבי מערכת לינארית של משוואות דיפרנציאליות מצומדות. את המערכת אפשר לייצג בצורת וקטורים ומטריצות ואז ללכסן אותה, כלומר: לחפש את הוקטורים העצמיים שלה. וקטורים עצמיים אלה הם אופני התנודה של המערכת, והתדירויות המותרות הן הערכים העצמיים המתאימים.

[עריכה] דוגמה - אופני תנודה של מתנדים מצומדים

נניח שני גופים, כל אחד בעל מסה M, מחוברים זה לזה באמצעות קפיץ בעל קבוע-קפיץ K. חיבורים מתואר באיור הבא:

כאשר נקודות הקצה מקובעות ואינן יכולות לזוז. אנו נציין ב x₁(t) את ההעתק של המסה השמאלית ממצב שיווי המשקל, וב x₂(t) נציין את ההעתק של המסה הימנית.

אם נציין את הנגזרת של ההעתק x(t) לפי הזמן בסימון x″, אזי המשוואות הן:

$\ M x_1'' = - K (x_1) - K (x_1 - x_2)$

$\ M x_2'' = - K (x_2) - K (x_2 - x_1)$

מאחר שאנו מצפים לפתרון מתנודד ננחש פתרון שהוא אופן תנודה ובו שתי המסות מתנודדות באותה תדירות: Since we expect oscillatory motion, we try:

$\ x_1(t) = A_1 e^{i \omega t}$

$\ x_2(t) = A_2 e^{i \omega t}$

בהצבתן במשוואות נקבל:

$\ -\omega^2 M A_1 e^{i \omega t} = - 2 K A_1 e^{i \omega t} + K A_2 e^{i \omega t}$

$\ -\omega^2 M A_2 e^{i \omega t} = K A_1 e^{i \omega t} - 2 K A_2 e^{i \omega t}$

מאחר ואיבר האקספוננט (ה"פאזה" של המערכת) שונה מאפס ומשותף לכולם, נצמצם בו. נפשט את המשוואות ונקבל:

$\ (\omega^2 M - 2 K) A_1 + K A_2 = 0$

$\ K A_1 + (\omega^2 M - 2 K) A_2 = 0$

ובייצוג מטריצי:

$\begin{bmatrix} \omega^2 M - 2 K & K \\ K & \omega^2 M - 2 K \end{bmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} = 0$

כדי שיהיה קיים למערכת זו פתרון לא-טריוויאלי (במשתנים A1 ו A2), על הדטרמיננטה להתאפס. כלומר, הפולינום האופייני של המערכת חייב להיות שווה לאפס:

$\ (\omega^2 M - 2 K)^2 - K^2 = 0$

נפתור עבור $ω$ , ונקבל:

$\omega_1 = \sqrt{\frac{K}{M}}$

$\omega_2 = \sqrt{\frac{3 K}{M}}$

אלו הן התדירויות העצמיות, כעת נחפש את הווקטורים העצמיים המתאימים.

אם נציב $ω 1$ במטריצה ונפתור עבורinto the matrix and solve for ( $A 1, A 2$ ), נקבל את הוקטור (1, 1). אם נציב $ω 2$ , נקבל את הווקטור (1, 1-).

אופן התנודה הראשון הוא

$\begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cos{(\omega_1 t + \phi_1)}$

אופן התנודה השני הוא

$\begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cos{(\omega_2 t + \phi_2)}$

הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של אופני התנודה כאשר c₁, c₂, φ₁, ו φ₂, נקבעים על ידי תנאי ההתחלה של הבעיה (במקרה שלנו, ההעתק והמהירות ההתחלתית של כל מסה).

התהליך שהודגם כאן גם ניתן להכללה, לניסוח ולביצוע גם בפורמליזם הלגראנז'י וההמילטוני (כלומר: מכניקה אנליטית עם לגראנז'יאן או המילטוניאן).

[עריכה] גלים עומדים

ערך מורחב – גלים עומדים

גל עומד הוא צורה רציפה של אופ תנודה. בגל מעומד כל האלמנטים המרחביים (מיוצגים על ידי הקואורדינטות x,y,z) מתנודדים באותה תדירות ובאותה פאזה (מגיעים ביחד לנקודת שיווי המשקל), אך לכל אלמנט מרחבי אמפליטודה משלו.

המשוואה הכללית המתארת גל עומד היא

$\ \Psi(t) = f(x,y,z) (A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t))$

כאשר $\ f(x,y,z)$ מייצגת את "גל המעטפת", התלות של האמפליטודה במיקום במרחב, ואילו רכיבי הסינוס והקוסינוס מייצגים את התנודות בזמן.

מבחינה פיזיקלית, גלים עומדים נוצרים על ידי התאבכות: סופרפוזיציה של גלים (נוסעים) וההחזרות שלהם. חשוב לציין שאפשר לתאר זו גם להפך: גל נוסע הוא סופרפוזיציה של גלים עומדים. הצורה הגאומטרית של התווך בו מתרחשים התנודות קובעת את תבנית ההתאבכות, כלומר את צורת גל המעטפת $\ f(x,y,z)$ . פתרון רציף כזה נקרא אופן תנודה.

בדרך כלל, בבעיות עם תלות רציפה בקואורדינטות x,y,z אין מספר סופי של אופני תנודה, אלא יש מספר אינסופי של אופני תנודה אפשריים. אם הבעיה חסומה (כלומר: מוגדרת על קטע סופי וקומפקטי של המרחב) אז יש מספר בן מניה (אינסוף בדיד) של אופני תנודה (בדרך כלל מסדרים אותה בסדרה לפי הערכים העצמיים). אם הבעיה איננה חסומה יש ספקטרום רציף של אינסוף אופני תנודה.

התדירויות המותרות תלויות באופני התנודה, וכן בקבועים הפיזיקליים של הבעיה (צפיפות התווך, מתיחות התווך, לחץ וכדומה) שקובעות את מהירות הפאזה של הגל. אוסף כל התדירויות המותרות נקרא ספקטרום התדירות של הבעיה. בדרך כלל, כל תדירות מדוגמת באמפליטודה (של אופן התנודה המתאים) או באנרגיה שהיא נושאת, ואז נוצר גרף של ספקטרום אנרגיה של התנודות.

במוזיקה, אופני תנודה של כלים רוטטים (כלי מיתר, חלילים וכלי נשיפה, תופים ועוד) נקראות הרמוניות.

[עריכה] אופני תנודה במכניקת הקוונטים

ערך מורחב – מכניקה קוונטית

ערך מורחב – משוואת שרדינגר

במכניקת הקוונטים, מצב של מערכת מתואר על ידי פונקציית גל $\ | \psi \rang$ של (x, t) שפותרת את משוואת שרדינגר. הריבוע של הערך המוחלט של האמפליטודה $\ | \psi \rang$ , כלומר

$\ P(x,t) = |\psi (x,t)|^2$

היא צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במקום x בזמן t.

בדרך כלל, כאשר יש פוטנציאל בבעיה, פונקציית הגל מפורקת ל[[סופרפוזיציה של מצבים עצמיים של ההמילטוניאן (מצבים עצמיים של האנרגיה), שכל אחד מהם "מתנודד" בתדירות $\omega = E_n / \hbar$ . לכן, אפשר לכתוב

$|\psi (t) \rang = \sum_n |n\rang \left\langle n | \psi ( t=0) \right\rangle e^{-iE_nt/\hbar}$

כאן, למצב העצמי יש משמעות פיזיקלית נוספת. כאשר האנרגיה של המערכת נמדדת, פונקציית הגל קורסת לאחד המצבים העצמיים ונשארת שם. כלומר, אחרי המדידה: פונקציית הגל מתוארת על ידי מצב עצמי טהור שמתאים לאנרגיה שנמדדה.