אוסצילטור הרמוני קוונטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסגנון המקובל בוויקיפדיה.
הסיבה שניתנה לכך היא תרגום מונחים ופסקאות לעברית. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

אוסצילטור הרמוני קוונטי הוא התוצאה של טיפול קוונטי בבעיה הפיזיקלית של אוסצילטור הרמוני. האוסצילטור ההרמוני הקוונטי (להלן: אה"ק) הוא אחד מהמודלים הפיזיקליים בחשובים ביותר בפיזיקה קוונטית ובפיזיקה המודרנית, מאחר שבעיות פיזיקליות רבות ניתן להציג (במדויק או בקירוב) כאוסף של אוסצילטואיים קוונטים. היתרון הגדול של האה"ק היא שזו מערכת שהפיזיקאים יודעים לפתור במדיוק.

הפסקאות הבאות במאמר דורשות ידע במכניקת הקוונטים, ובפרט: הכרה של סימוני דיראק ותורת שטורם-ליוביל. מומלץ לקרוא קודם את המאמר על משוואת שרדינגר.

תוכן עניינים

1 אוסצילטור הרמוני חד ממדי
- 1.1 ההמילטוניאן והמצבים העצמיים
- 1.2 שיטת אופרטורי הסולם
2 אוסצילטור הרמוני רב-ממדי
3 יישומים
- 3.1 תנודות בגביש
- 3.2 קוונטיזציה שנייה של השדה האלקטרומגנטי
4 ראו גם

[עריכה] אוסצילטור הרמוני חד ממדי

[עריכה] ההמילטוניאן והמצבים העצמיים

Wavefunctions ψ_n(x) for the first six bound eigenstates, n = 0 to 5. The horizontal axis shows the position x. The graphs are not normalised.

Probability densities |ψ_n(x)|² for the bound eigenstates, beginning with the ground state (n = 0) at the bottom and increasing in energy toward the top. The horizontal axis shows the position x, and brighter colors represent higher probability densities.

עבור הבעיה של אוסצילטור הרמוני חד-ממדי, חלקיק בעל מסה m נמצא תחת השפעת פוטנציאל (ליתר דיוק: אנרגיה פוטנציאלית) V(x) = (1/2)mω² x². ההמילטוניאן של המערכת הוא

$H = {p^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x^2$

כאשר x הוא אופרטור המקום של החלקיק, ואילו p הוא אופרטור התנע הצמוד לו ( $p = -i \hbar \partial / \partial x$ ). האיבר הראשון (השמאלי יותר) מייצג את האנרגיה הקינטית של החלקיק ואילו האיבר השני מייצג את האנרגיה הפוטנציאלית שלו כתוצאה מכוח חיצוני המופעל עליו.

במכניקת הקוונטים, פתרון של בעיה הוא מציאת המצבים העצמיים של המערכת והדרך בה הם מתפתחים בזמן. כלומר: יש לפתור את משוואת שרדינגר ולמצוא את המצבים העצמיים של אופרטור ההמילטוניאן, שנקראים גם המצבים העצמיים של האנרגיה. כדי לעשות זאת משתמשים בשיטת הפרדת משתנים: מציבים במש' שרדינגר $\ | \psi (t) \rang = e^{-i H t / \hbar} | \psi \rang$ ועוברים למשוואת שרדינגר הב"ת בזמן

$H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle$ .

אפשר לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית בבסיס המקום, תוך שימוש בשיטת פרוביניוס (פתרון מד"ר על ידי פיתוח לטור חזקות). אנו מקבלים משפחה של פתרונות

$\left\langle x | \psi_n \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \hbox{exp} \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)$

$n = 0, 1, 2, \ldots$

ששת הפתרונות הראשונים (n = 0 to 5) מוצגים באיור שמשמאל. אלו הם גרפים של פונקציות הגל. הפונקציות H_n הן פולינומי הרמיט:

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

אין לבלבלן עם ההמילטוניאן, שלרוע המזל מסומן אף הוא ב-H (אך ללא אינדקס נוסף). ראוי לציין שהתנאי המתמטי לקציצת הטורים בשיטת פרוביניוס והפיכתם לפולינומים סופיים הוא זה שיוצר את הקוונטיזציה של האנרגיות וקובע את הערכים שלהם (השוו עם תנאי שפה של בור פוטנציאל אינסופי).

האנרגיות העצמיות (ראו: ערך עצמי) המתאימות הן

$E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)$ .

כאשר n מספר טבעי: $\ n = 0,1,2,3, \cdots$ וכן הלאה.

ספקטרום האנרגיה ראוי לציון משתי סיבות.

ראשית, האנרגיות "מקוונטות", כלומר: הן יכולות לקבל רק ערכים בדידים ולא משתנות ברציפות. האנרגיות קופצות במנת האנרגיה ("קוונט של אנרגיה") הבסיסית $\hbar\omega$ כל פעם, כלומר: $\ E_{n+1} - E_n = \hbar \omega$ . ספקטרום האנרגיות הדיסקרטי הוא מאפיין של מערכות קוונטיות רבות, ולמעשה הוא נובע מכך שהמערכת היא מערכת קשורה ובמובן מסוים חסומה. נקדיש לכך דיון נוסף בפסקה על אופרטורי סולם.
שנית, האנרגיה המינימלית של המערכת איננה אפס, אלא $\hbar\omega/2$ , שנקראת "אנרגיית מצב היסוד" או "אנרגיית האפס" (באנגלית: "ground state energy" או "zero-point energy"). למרות שעובדה זו לא נראית רבת חשיבות, יש לה השלכות חשובות ביותר כאשר מבצעים קוונטיזציה לשדות ומקרבים אותם על ידי אוסצילטורים הרמוניים. למעשה, אנרגיית המצב היסוד היא מה שהפיזיקאים קוראים לו אנרגיית הריק (שאפשר להרגישה בה במעבדה, ראו: אפקט קזימיר).

שימו לב שצפיפות ההסתברות של פונקציית הגל של מצב היסוד מרוכזת בראשית. זה אומר שהחלקיק נמצא רוב הזמן בתחתית בור הפוטנציאל, קרוב לראשית, כמצופה ממצב בעל אנרגיה נמוכה. ככל שהאנרגיה של החלקיק גדלה (שוב נזכיר: היא גדלה רק במנות קצובות ובדידות של $\hbar\omega$ ) צפיפות ההסתברות מתרכזת דווקא בנקודות המפנה הקלאסיות, בהן האנרגיה העצמית מתלכדת עם האנרגיה הפוטנציאלית. מסקנות אלה עקביות עם התיאור הקלאסי של אוסצילטור הרמוני, בו חלקיק אנרגטי נמצא רוב הזמן בנקודות המפנה, איפה שהוא איטי ביותר (בנק' מפנה מהירותו מתאפסת והוא משנה כיוון). המסקנה העיקרית מדיון זה הוא שעקרון ההתאמה של נילס בוהר ממולא, כנדרש.

[עריכה] שיטת אופרטורי הסולם

הפתרון המפורש בבסיס המקום, באמצעות שיטת פרוביניוס, למרות שהוא ישיר ומיידי, הוא די מייגע לחישובים ומניפולציות מתמטיות. שיטת "אופרטורי הסולם", שהמציא פול דיראק, מאפשרת לנו לחלץ את ספקטרום האנרגיות מבלי לפתור באופן ישיר את המשוואה הדיפרנציאלית. יתרה מכך, ניתן להכליל אותה לבעיות מסובכות יותר, בעיקר בתורת שדות קוונטית.

בשיטה זו אנו מגדירים שני אופרטורים המאפשרים לנו לנוע על סולם המצבים העצמיים. אנו נבנה אופרטור המעלה אותנו מצב ("מעורר את המערכת") ואופרטור המוריד אותנו מצב ("מדעיך את המערכת"). השם הכללי של אופרטורים אלו הוא "אופרטורי חיסול ויצירה" כאשר אופרטור יצירה מעלה מצב ואופרטור חיסול מוריד מצב. מקור השם הוא בתורת שדות קוונטית בה אנו מייחסים לכל דרגת עירור (כלומר: קוונטת אנרגיה) פוטון עם תדירות $ω$ ואנרגיה $\ \hbar \omega$ . אזי העלאת מצב שקולה ליצירת פוטון ואילו הורדת מצב לחיסול פוטון.

נגדיר את האופרטורים הללו, a והצמוד ההרמיטי שלו a^† :

$\begin{matrix} a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\ a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right) \end{matrix}$

האופרטור a איננו אופרטור הרמיטי שכן הצמוד ההרמיטי שלו איננו שווה לו. בהגדרת a^† כצמוד ההרמיטי של a נעזרנו בעובדה שהאופרטורים x ו p (שמייצגים גדלים הניתנים למדידה) הם אכן הרמיטיים.

האופרטורים x ו p מקיימים את יחסי החילוף הקנוניים:

$\left[x , p \right] = i\hbar$ .

הסוגרים המרובעים הם סימון נפוץ ומקובל לקומוטטור שלהם, שמוגדר כ

$\left[A , B \right] \equiv AB - BA$ .

נעיר רק שמיחסי חילוף אלה בין x ל p נובע עקרון אי הוודאות של אייזנברג.

תוך שימוש בהגדרות לעיל אפשר להוכיח את הזהויות הבאות:

$H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)$

$\left[a , a^{\dagger} \right] = 1$ .

אלו הן הזהויות החשובות ביותר בשיטת אופרטורי הסולם ולמעשה מייצגים את הדינמיקה של הבעיה - במקום במונחים של x ו p , במונחים של $\ a$ ו $a^\dagger$ .

כעת, יהי $\left|\psi_E\right\rangle$ מצב עצמי של ההמילטוניאן עם אנרגיה עצמית E. המכפלה הפנימית של כל "קט" (ket) עם עצמו היא א-שלילית, ולכן

$\left(a \left|\psi_E \right\rangle, a \left|\psi_E \right\rangle\right) = \left\langle\psi_E \right| a^\dagger a \left| \psi_E \right\rangle \ge 0$ .

נבטא את a^†a באמצעות ההמילטוניאן:

$\left\langle\psi_E \right| {H \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \left|\psi_E\right\rangle = \left({E \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \right) \ge 0$ ,

כלומר $E \ge \hbar \omega / 2$ .

שימו לב שכאשר ( $a \left| \psi_E \right \rangle$ ) הוא "קט" האפס (כלומר: הקט בעל נורמה ששווה לאפס) האי-שוויון מושג ולכן קיימת אנרגיה E כך ש $E = \hbar \omega / 2$ . אפשר להראות שמכך נובע שקיים מצב עצמי (ששונה מאפס) המקיים את תנאי זה, כלומר - הוא בעל האנרגיה הנ"ל. מצב זה נקרא "מצב היסוד" (n = 0) ותיאור מתמטי מפורש שלו (בבסיס המקום) ניתן בפסקה הקודמת.

תוך שימוש בזהויות לעיל, אפשר להראות שיחסי החילוף של a ו a^† עם H הם

$\begin{matrix} \left[H , a \right] &=& - \hbar \omega a \\ \left[H , a ^\dagger\right] &=& \hbar \omega a^\dagger \end{matrix}$ .

כך, אם ( $a \left| \psi_E \right \rangle$ ) איננו "קט" האפס, השוויון הבא מתקיים:

$\begin{matrix} H (a \left| \psi_E \right\rangle) &=& (\left[H,a\right] + a H) \left|\psi_E\right\rangle \\ &=& (- \hbar\omega a + a E) \left|\psi_E\right\rangle \\ &=& (E - \hbar\omega) (a\left|\psi_E\right\rangle) \end{matrix}$ .

באותו אופן אפשר להראות ש-

$H (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle) = (E + \hbar\omega) (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle)$ .

במילים אחרות, a פועל על מצב עצמי של אנרגיה E כדי ליצור (עד כדי קבוע כפלי) מצב עצמי של $E - \hbar \omega$ , ואילו a^† פועל על מצב עצמי של E כדי ליצןר מצב עצמי של $E + \hbar \omega$ . מסיבה זו a נקרא "אופרטור הורדה" או "אופרטור חיסול" ואילו a^† נקרא "אופרטור העלאה" או "אופרטור יצירה". כאמור, בתורת שדות קוונטית זוג האופרטורים הללו נקראים אופרטורי חיסול ויצירה בהתאמה, מאחר שהם משמשים לחיסול ויצירה של "חלקיקים" הנושאים את קוונטת האנרגיה הבסיסית.

בהינתן מצב עצמי (של האנרגיה) כלשהו, אנו יכול ל"הוריד" אותו באמצעות הפעלת האופרטור a עליו וכך ליצור מצב עצמי אחר, עם $\hbar \omega$ פחות אנרגיה. באמצעות הפעלה חוזרת ונשנית של אופרטור ההורדה, זה נראה כאילו אנו יכולים להפיק אנרגיות עצמיות עד $\ E = - \infty$ (כלומר: נמוכות ללא גבול). ברם, זה סותר את הדרישה שהוכחנו קודם $E \ge \hbar \omega / 2$ . לכן, כדי ליישב את הסתירה, נובע שקיים מצב עצמי של אנרגיית היסוד, אותו נסמן $\left| 0 \right \rangle$ (אין להתבלבל בין מצב זה לבין "קט" האפס) כך ש

$a \left| 0 \right\rangle = 0 \hbox{(zero ket)}$ .

במקרה זה, הפעלה חוזרת ונשנית של אופרטור ההורדה רק תפיק את "קט" האפס - כלומר: לא כלום - ולא תיצור מצבי אנרגיה נוספים. יתרה מכך, הראנו ש

$H \left|0\right\rangle = (\hbar\omega/2) \left|0\right\rangle$

לבסוף, אם נפעיל על $\left| 0 \right \rangle$ את אופרטור ההעלאה ונדאג לנרמל את המצב המתקבל בכל שלב, אנו יכולים ליצור את כל סט המצבים העצמיים האינסופי (אך הבן מניה) של האנרגיות $\left\{\left| 0 \right \rangle, \left| 1 \right \rangle, \left| 2 \right \rangle, ... , \left| n \right \rangle, ...\right\}$ , כך ש

$H \left|n\right\rangle = \hbar\omega (n + 1/2) \left|n\right\rangle$

שמתאים לספקטרום האנרגיות שמצאנו בפסקה הקודמת באופן ישיר.

[עריכה] אוסצילטור הרמוני רב-ממדי

אוסצילטור הרמוני חד-ממדי ניתן ואף מתבקש להכליל לאוסצילטור של N-ממדים, כאשר N = 1, 2, 3, ...

בממד אחד, המיקום של החלקיק תואר באמצעות קואורדינטה אחת בלבד, x. ב-N ממדים, אנו נתאר את מיקומו באמצעות N קואורדינטות, שנסמן כ x₁, ..., x_N. לכל קואורדינטה נגדיר תנע צמוד מתאים ונסמן p₁, ..., p_N את N התנעים שקיבלנו.

נזכיר שוב שכל הקואורדינטות והתנעים בעצם אופרטורים הרמיטיים הניתנים למדידה. אופרטורים אלה מקיימים את יחסי החילוף הקנוניים:

$\begin{matrix} \left[x_i , p_j \right] &=& i\hbar\delta_{i,j} \\ \left[x_i , x_j \right] &=& 0 \\ \left[p_i , p_j \right] &=& 0 \end{matrix}$ .

כאשר $δ i, j$ היא הדלתא של קרונקר.

ההמילטוניאן עבור המערכת הוא

$H = \sum_{i=1}^N \left( {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x_i^2 \right)$ .

מהצגה זו ברור שאוסצילטור הרמוני N-ממדי הוא בעצם שקול ל-N אוסצילטורים חד-ממדיים בלתי תלויים (ובלתי מצומדים) בעלי אותה מסה m ותדירות תנודה $ω$ (כלומר: אותו "קבוע הקפיץ"). במקרה זה, ניתן להסתכל על הקואורדינטות x₁, ..., x_N כאוסף המקומות של N חלקיקים, ולמזלנו הרב - מאחר שהפוטנציאלים מופרדים - אפשר לפתור את הבעיה עבור כל חלקיק, או אוסצילטור בנפרד. בשפה מקצועית, אנו אומרים שבכך "ליכסנו את הבעיה" מאחר והתהליך של מציאת אופני תנודה או קואורדינטות נורמליות בלתי תלויות הוא אנלוגי לתהליך של לכסון מטריצה.

מסקנה זו הופכת את הפתרון לישיר ומיידי. את המערכת מאפיינים N-יות של מספרים קוונטים: $\ {n} \equiv ( n_1 , n_2 , ... , n_N )$ כאשר n_i מסמן את דרגת העירור של האוסצילטור ה-i, כלומר: אם הוא בדרגת עירור n_i אזי האנרגיה שלו היא $\ E_{n_i} = \hbar \omega \left( n_i + 1/2 \right)$ והוא במצב העצמי המתאים. המצב המתאים ל-N לעיל הוא מכפלה טנזורית של המצבים העצמיים של כל אוסצילטור חד-ממדי המתאים לדרגת העירור שלו

$\langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle =\prod_{i=1}^N\langle x_i|\psi_{n_i}\rangle$

עם אנרגיה עצמית

$E = \hbar \omega \left[(n_1 + \cdots + n_N) + {N\over 2}\right]$ .

בשיטת אופרטורי הסולם, אנו מגדירים סט של N אופרטורים (ו-N צמודים):

$\begin{matrix} a_i &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x_i + {i \over m \omega} p_i \right) \\ a^{\dagger}_i &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x_i - {i \over m \omega} p_i \right) \end{matrix}$ .

ובאופן אנלוגי למקרה החד-ממדי אפשר להראות שהאופרטורים a_i ו a^†_i מורידים ומעלים (בהתאמה) את דרגת העירור של האוסצילטור ה-i. רמות האנרגיה של המערכת הן, אם כן

$E = \hbar \omega \left[(n_1 + \cdots + n_N) + {N\over 2}\right]$ .

$\, n_i = 0, 1, 2, \dots$

כמו במקרה החד-ממדי, ספקטרום האנרגיות הוא מקוונטט (ולא רציף). אנרגיית היסוד היא N פעמים כפול אנרגיית היסוד של אוסצילטור חד-ממדי, כמצופה מכך שהמערכת שקולה ל-N אוסצילטורים שכאלה. ברם, ישנו הבדל אחד בין הספקטרום החד-ממדי לזה הרב-ממדי והוא שהספקטרום הרב-ממדי מנוון, כלומר: יש 2 מצבים קוונטים שונים בעלי אותה אנרגיה עצמית, בעוד שבספקטרום החד-ממדי לכל אנרגיה היה מצב עצמי אחד בלבד.

ניתן לחשב את דרגת הניוון בקלות יחסית. נתבונן, לדוגמה, במקרה התלת-ממדי. נגדיר: n = n₁ + n₂ + n₃. כל המצבים עם n נתון הם מנוונים. עבור n נתון, נבחר n₁ כלשהו. לפיכך, n₂ + n₃ = n − n₁. ישנן n − n₁ + 1 קבוצות אפשריות {n₂, n₃}. המשתנה n₂ יכול לקבל את הערכים 0 עד n − n₁, ולכל n₂ הערך של n₃ נקבע ביחידות. לכן, דרגת הניוון היא:

$g_n = \sum_{n_1=0}^n n - n_1 + 1 = \sum_{n_1=0}^n n + 1 - \sum_{n_1=0}^n n_1 = (n+1)(n+1) - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

[עריכה] יישומים

[עריכה] תנודות בגביש

תנודות בגביש (סריג מוצק, lattice) ניתן לתאר כאוסף אוסצילטורים מצומדים

$H = \sum_{i=1}^N {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{\{ij\} (nn)} (x_i - x_j)^2$

כאשר הקואורדינטה x_i הוא המיקום של האטום ה-i בסריג ביחס לנקודת שיווי המשקל שלו בסריג. הסכימה כאן נעשית רק על זוגות שכנים סמוכים, ולמרות שזהו בדרך כלל רק קירוב - ברוב המקרים זהו קירוב מוצדק. קירוב זה מתאים למודל שבו כל שני חלקיקים שכנים סמוכים בגביש מחוברים ביניהם בקפיץ (דמיינו רשת תלת-ממדית של קוביות, בה בכל קודקוד יש חלקיק וכל צלע היא קפיץ).

מסתבר שישנה מערכת קואורדינטות בה ניתן להציג את הבעיה כאוסף של N אוסצילטורים בלתי-תלויים. בקואורדינטות אלה ההמילטוניאן מלוכסן ואפשר להפעיל מיידית את הפתרון שמצאנו קודם. ברם, לא ניתן עוד לפרש את ה"אוסצילטורים" והפתרונות שקיבלנו כאמפליטודות התנודה של חלקיק מסוים בגביש, אלא כעירורים קולקטיביים בהם כל הגביש רוטט באופן תנודה כלשהו. לעירורים או אופני תנודה אלה קוראים "פונונים Phonons" ומתייחסים אליהם כאל חלקיקים, מאחר וכמו פוטונים, ניתן ליחס להם תכונות חלקיקיות (אנרגיה, תנע, העברת קוונט אנרגיה, יצירת זרם פונונים). את הפונונים ניתן למצוא במוצקים רבים ולהם אפקטים חשובים ביותר, שאינם ניתנים להזנחה. חקר השפעת הפונונים על התנודות בגביש ועל תכונות כגון פיזורי בראג, קיבול חום ומוליכות הוא ענף חשוב של פיזיקה של מצב מוצק.

[עריכה] קוונטיזציה שנייה של השדה האלקטרומגנטי

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

[עריכה] ראו גם

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%95/%D7%A1/%D7%90%D7%95%D7%A1%D7%A6%D7%99%D7%9C%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%94%D7%A8%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%99_%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%A0%D7%98%D7%99.html

קטגוריות: ויקיפדיה: ערכים הדורשים עריכה | ויקיפדיה: ערכים הדורשים השלמה | מכניקת הקוונטים

אוסצילטור הרמוני קוונטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] אוסצילטור הרמוני חד ממדי

[עריכה] ההמילטוניאן והמצבים העצמיים

[עריכה] שיטת אופרטורי הסולם

[עריכה] אוסצילטור הרמוני רב-ממדי

[עריכה] יישומים

[עריכה] תנודות בגביש

[עריכה] קוונטיזציה שנייה של השדה האלקטרומגנטי

[עריכה] ראו גם

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות