Transmutation de la force

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Newton , dans les Principia, démontre ( proposition II, corollaire III) un théorème assez ahurissant, appelé par Needham transmutation de la force.

Enoncé : soit un champ central de centre S de force F(r) avec SP = r produisant un mouvement de trajectoire(T), décrit selon la loi des aires ( deuxième loi de Kepler).

Alors, cette MEME trajectoire(T) existe comme solution d'un problème de champ central de centre S' quelconque ( mais dans la concavité de (T), certes), de force F'(r'), avec S'P = r', différente évidemment :

F'(r') = F(r). (facteur de transmutation).

Ce facteur de transmutation vaut : SG^3/(SP.S'P²),

où SG est le segment parallèle au vecteur S'P , situé entre S et la tangente-en-P à la trajectoire (T).

Historiquement, il semblerait que ce soit LA démonstration de Novembre 1684, réclamée par Halley en Août 1684, celle qui déclencha la rédaction des Principia.

Remarque : il paraît plus simple d'écrire cette loi de transmutation de façon plus symétrique en introduisant F'/r' et F/r :

 F'/r' = F/r . (SG/S'P)^3 , avec

Sommaire

1 La loi de Hooke se transmute en la loi de gravitation
2 Démonstration du théorème de transmutation
3 Généralisation selon Goursat
4 Voir aussi

[modifier] La loi de Hooke se transmute en la loi de gravitation

Admettre provisoirement le théorème précédent(démonstration au prochain paragraphe).

La loi de Hooke est :

m OM" = - k OM

La solution de Hooke est :

OM(t) = OMo coswt + Vo/w . sinwt .

Ce qui définit un mouvement elliptique dit de Hooke ( de Lissajous, en France), dont le centre de force O est le centre de l'ellipse, décrite périodiquement avec une pulsation w= sqrt(k/m).

En janvier 1684, Wren défia Hooke, en présence de Halley, de démontrer les lois de Kepler, éventuellement via une loi en 1/r². Hooke avait bien tenté de le faire, via un travail semi-empirique (mal connu), qui lui donnait des "elliptoïdes" . Mais c'est Newton qui donna la solution en Nov 1684, après avoir été questionné par Halley en Août 1684.

Voici, paraphrasée, sa démonstration, qui utilise le théorème de transmutation.

Soit (T), une trajctoire elliptique de Hooke , de centre O, qui est donc centre de force.

Choisir le foyer S comme nouveau centre de force. Le facteur de transmutation, avec ces nouvelles notations, est f = OG^3/(OM.SM²).

La force devient:

F'(r') = -k OM . OG^3 / (OM.SM²).

On démontre géométriquement OG= cste = a (demi-grand axe).

Il vient donc le théorème :

La force de Hooke centrale de centre O, -k OM, est transmutée en la force centrale de centre S, foyer de l'ellipse , -k a^3. SM/SM^3.

Sous l'action de cette force centrale , la trajectoire (T) est décrite selon la loi des aires de centre S (deuxième loi de Kepler): on obtient ainsi les deux lois de Kepler. La troisième loi ne présente aucune difficulté particulière, se déduisant aisément de la deuxième loi.

Depuis fort longtemps, on a abandonné cette démonstration, au profit de celle, plus simple , dite de l'hodographe circulaire ( d'Hamilton(?) ou de Herman (1710) ).

[modifier] Démonstration du théorème de transmutation

Cette démonstration peut être soit purement géométrique , soit considérée via l'introduction d'une échelle de temps ( cf temps newtonien ).

Ici se trouve la démonstration géométrique , proposition X des principia : Reprendre le Théorème de Sciacci dans le cas de force centrale :

F = C². SP/SH^3 .1/R , SH = p longueur de la podaire, R est le rayon de courbure.

Donc F/SP . SH^3 = F'/S'P . S'H'^3.

La simple homothétie des triangles S'PH' et SGH donne S'H'/SH = S'P/SG , d'où

F'/S'P = F/SP ( SG/S'P)^3

CQFD.

Remarque : on peut préférer la démonstration (directe mais anachronique) du Théorème de Sciacci, dans le cas restreint d'un champ central :

Le théorème de Leibniz donne pour le travail élémentaire de la force :

2F.dr = -d(v²) = -d(C²/p²) = + 2C²/p^3 . dp

CQFD.

[modifier] Généralisation selon Goursat

On peut trouver dans Arnold(1990), Needham (1992), et Chandrasekhar(1995), des correspondances entre champs centraux de lois de puissance différentes.

Soit un champ central en k 1/r^(n) ,n réel , et un champ central en k'.1/r^(n'), n' réel : il existe une transmutation qui permet de passer de l'un à l'autre via la formule : (3-n)(3-n') = 4 .

Clairement, la transmutation d'Arnold est involutive.

il y a n = n' = 1 ou 5;

cas traités par Newton, puis réutilisés par Maxwell , puis Boltzmann.

Le champ newtonien ( n=2) se transmute en n'= -1 (Hooke), qui vient d'être traité.

Le champ en n = 3 + eps , donne n' = 3 + 4/eps : on sait que n=3 abolit la barrière centrifuge, due à la conservation du moment cinétique : il est donc normal que n = 3 apparaisse comme cas-limite (cf voir aussi).

Cette généralisation apparaît en fait déjà dans Goursat ( note aux CRAS, 108,(1889)).