Spirale logarithmique de Newton
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La spirale logarithmique de Newton est l'un des premiers cas où les spirales logarithmiques interviennent en dynamique.
Isaac Newton, très féru de cette courbe, beaucoup étudiée au XVIIe siècle, a remarqué qu'en présence d'une résistance de l'air de masse volumique inversement proportionnelle à la distance OM = r, un mouvement possible dans un champ central en 1/ r^n, était une spirale logarithmique (propositions XV, XVI, et XVII des Principia).
Cette curiosité historique était tombée dans l'oubli ; en 1973, deux chercheurs l'ont "retrouvée".
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[modifier] Mise en équations
Il est rare que les problèmes de dynamique s'intègrent. La solution donnée par Newton n'est évidemment pas la solution générale ; mais c'est une solution.
Soit OM = r. Soit R : = rayon de courbure = r/sin A.
Soit g(r) = -k/r^n l'accélération centrale.
Soit - Dv^2/r la résistance de l'air selon la tangente.
Dans le trièdre de Frenet, le PFD ( Principe Fondamental de la Dynamique) s'écrit :
- v^2/R = (v^2/r).cosA = g.cosA ; soit v^2 = g.r (1)
- dv/dt = -D v^2/r +g.sinA = g (sinA - D). (2)
On va profiter du fait que dr/dt = - v.sinA (3) que l'on reporte dans la relation (1) différentiée logarithmiquement :
2.dv/dt = g.(n-1).sinA
Comparée à (2), cela donne 2g(sinA-D) = g.(n-1).sinA , qui est identiquement vérifiée ssi :
2D = (3-n).sinA
ce qui donne la valeur de l'angle A de la spirale.
Remarque : le problème peut aussi se résoudre en utilisant l'accélération de Siacci, car la podaire de la spirale est semblable à la spirale.
Remarque : la transmutation de la force de Newton donne aussi solution de ce problème.
[modifier] Discussion énergétique
On retrouve tous les résultats du satellite "circulaire" légèrement freiné, si n = 2 : sinA = 2D et dv/dt = - Frein + 2 Frein = + Frein : un satellite freiné accélère exactement selon la loi opposée à l'intuition ( paradoxe du frottement), mais c'est bien ce que donne la conservation de la puissance : Frein.v = - dEnergie/dt = +v.dv/dt
Bien sûr, r diminue ( il faut bien que l'énergie potentielle diminue , 2 fois plus vite que l'énergie cinétique n'augmente).
Le cas n = 3 ne doit pas surprendre : la spirale logarithmique est solution du problème de force centrale -k/r³.
[modifier] Viriel et conservation de l'énergie
La solution pour n différent de 2 se décline mot pour mot en changeant 2 par n : le théorème du viriel et la conservation de la puissance redonnent des résultats similaires
[modifier] Voir aussi
[modifier] Articles connexes
- Spirale logarithmique
- Chute avec résistance de l'air
- Satellite ralenti par résistance de l'air
- Exégèse des Principia
- Accélération de Siacci
[modifier] Références
- Newton , Principia (1687)
- Chandrasekhar : Newton's Principia ( Ox U P 1995)
