Sphère de Riemann

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Sommaire

1 Introduction
- 1.1 Remarque
2 La droite projective complexe
3 Homographies

[modifier] Introduction

La projection stéréographique, par exemple sur le plan équatorial à partir du pôle Nord, permet de voir que la sphère privée d'un point est homéomorphe au plan. Inversement, on passe du plan à la sphère en ajoutant un point à l'infini", noté $\infty\,$ . Mais le plan $\mathbb{R}^2\,$ peut s'identifier à $\mathbb C)\,$ .. La sphère de Riemann, c'est la sphère usuelle envisagée de ce point de vue, autrement dit la droite projective complexe.

[modifier] Remarque

Plus généralement, l'espace $\mathbb{R}^n\,$ est homéomorphe à la sphère $S^n\,$ (sphère unité de l'espace euclidien $\mathbb{R}^{n+1}\,$ ) privée d'un point. Encore plus généralement, le passage de $\mathbb{R}^n\,$ à $S^n\,$ est un exemple de compactification d'Alexandrov

[modifier] La droite projective complexe

C'est l'ensemble des "droites vectorielles" de $\mathbb{C}^2\,$ . Une telle droite étant définie par un vecteur non nul, défini à un coefficient de proportionalité près, on peut la voir comme $\mathbb{C}^2\setminus\{0\}\,$ quotienté par la relation d'équivalence

$(z,t)\simeq (z^\prime, t^\prime)$ si et seulement si il existe un nombre complexe $\lambda\,$ non nul tel que $(z,t)=\lambda (z^\prime, t^\prime)$ .

On la note $\mathbb P^1(\mathbb C)$ (voir l'article espace projectif pour la construction générale de l'espace projectif, et on note $[z,t]\,$ le point associé à $(z,t)\,$ . On dit que $(z,t)\,$ est un système de coordonnées homogènes du point $[z,t]\,$ . Remarquon aussi que $\phi_1 : z\mapsto [z,1]$ est une bijection de $\mathbb{C}\,$ . sur $\mathbb P^1(\mathbb C)\setminus[1,0]$ ; de même $\phi_2 : z\mapsto [1,z]$ est une bijection de $\mathbb{C}\,$ . sur $\mathbb P^1(\mathbb C)\setminus[0,1]$ . Ces deux façons d'identifier $\mathbb{C}\,$ . à $\mathbb P^1(\mathbb C)$ privé d'un point sont analogues aux identications de $\mathbb{R}^2\,$ à la sphère unité privée d'un point à l'aide des projections stéréographiques de pôles Nord et Sud. Cette remarque permet de donner une bijection explicite entre $S^2=\{(X,Y,Z)\in\mathbb{R}^3, X^2+Y^2+Z^2=1\}$ et $\mathbb P^1(\mathbb C)$ . C'est l'application $g\,$ définie par

$g(X,Y,Z)=[X+iY,Z]\,$ si $Z\not=1\,$ et $g(X,Y,Z)=[Z,X-iY]\,$ si $Z\not=-1\,$

(ces deux définitions sont compatibles si $Z\not=\pm 1$ , grâce à l'équation de la sphère !). Son application réciproque, si on identifie $\mathbb{R}^3\,$ à $\mathbb{C}\times\mathbb{R},$ . est

$H :(z,t)\mapsto \Big(\frac{2z\overline t}{\vert z\vert^2+ \vert t\vert^2}, \frac{\vert z\vert^2- \vert t\vert^2}{\vert z\vert^2+ \vert t\vert^2}\Big)$

[modifier] Homographies

On peut faire agir une matrice de $GL_2(\mathbb C)$ sur la sphère; la matrice $a, b, c, d$ agit sur $z\in\mathbb P^1(\mathbb C)$ ainsi:

si $z\in\mathbb C$ et $bz+d\neq0$ , on lui associe $\frac{az+c}{bz+d}$
si $z\in\mathbb C$ et $b z + d = 0$ , on lui associe $\infty$
si $z=\infty$ et $b = 0$ , on lui associe $\infty$
si $z=\infty$ et $b\neq0$ , on lui associe $\frac{a}{b}$

Une homographie est la bijection de la sphère de Riemann induite par l'action d'une matrice (on identifie souvent les deux); c'est même une fonction méromorphe.