Saturation des inégalités d'Heisenberg
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Le principe d'incertitude est lié à un théorème d'inégalité. L' inégalité d'Heisenberg est dite saturée quand il y a égalité. Il est souvent intéressant d'étudier l'état | ψ > pour lequel cette saturation est vérifiée: si , alors au mieux :
|
[modifier] Rappel de la démonstration du théorème d'inégalité
L'énoncé du théorème est ( cf principe d'incertitude ) :
Soit A et B deux opérateurs observables qui ne commutent pas : alors on ne peut pas mesurer simultanément A et B ! Le manque de précision est relié à leur commutateur iC. L'opérateur C est hermitien, donc <C> est réel.
Soit dans l'état | ψ > la variance de A , var(A) et de même var(B), celle de B :
|
Démonstration :
soit A1 l'observable centrée := A - <A> ; var(A)= <A1²>.(idem pour B1)
l'inégalité de Schwarz appliquée à |f> := A1| ψ > et |g> = B1| ψ >
donne var(A).var(B) > |<f|g>|² .
Or A1.B1 = So/2 +iC/2 (avec 2So := A1.B1 + B1.A1, et donc <So> est réel)
Donc var(A).var(B) > 1/4 <So>² + 1/4 <C>², avec saturation ssi |f> = k |g>
[modifier] Saturation
Il y a saturation si A1 | ψ > = k B1 | ψ > : cet état réalise le minimum d'incertitude.
Par addition , k var(A) +1/k var(B) = 2 <So> qui est nulle dans ce cas (on dit parfois que la corrélation quantique de A et B est nulle); et par soustraction que k var(A) -1/k var(B) = i<C> ,
d'où la valeur de k : k = i<C>/2var(A) = -2var(B)/i<C> ; ce qui permet souvent d'évaluer k.
Alors on dit que A1-k.B1 anihile l'état saturé.
[modifier] Application à la particule libre
Si la particule est libre, en considérant A= opérateur P et B = opérateur X, on trouve immédiatement :
, donc .D'où la valeur de k : k = -i, et (P-p0) = k (X-x0)dans l'état saturé. Soit en résolvant cette équation différentielle du premier ordre:
., avec
C'est le paquet d'ondes gaussien, avec évidemment var(X).var(P)=1/4..
Retrouver une gaussienne n'est pas trop étonnant; mais une faille importante s'introduit dans la dépendance temporelle, à cause de la dispersion inévitable de ψ(x,t) : le paquet d'onde va s'étaler dans le temps. Il faudra donc qu'un potentiel intervienne pour limiter la dispersion. C'est l'objet du paragraphe suivant.
[modifier] Application à l'oscillateur harmonique
Dans le cas du potentiel 1/2 K x²,on a toujours
var(X).var(P) = 1/4 ,
Donc l'énergie E = 1/2 K.var(X)+1/2 var(P)/m est bornée inférieurement par:
.
- pour la saturation, E= Eo et l'opérateur d'anihilation donnera encore un paquet d'onde gaussien, mais cette fois la variance est indépendante du temps et on a:
.
- Ce paquet d'onde est stationnaire( l'Énergie est parfaitement connue) et s'étale dans le fond de la cuvette de potentiel; son gradient donne une énergie cinétique moyenne , moitié de l'énergie Eo.
- Remarque: le théorème du viriel donne dans ce cas <Ec> = <Ep> = Eo/2, ce que l'on peut vérifier.
- Ordre de grandeur : dans le cas d'une molécule diatomique covalente, la distance d(A-B) varie toujours un peu à cause de la fluctuation quantique, d'une grandeur dont la variance est, on l'a vu , <X²>= , où ici m est la masse réduite de A et de B , et K la raideur de la liaison covalente ( typiquement donnée par 2V"(x=d), où V(x) est le potentiel de Morse du modèle d'interaction covalente, soit K = 13.6eV/(0.52Å)^2 = ~ 2000N/m (cf Ordre de grandeur littéral), ce qui conduit à var(X)~ d² 1/1836. A.B/(A+B): inutile donc de donner les distances interatomiques à mieux que 3% .
- Cas de l'helium :Il existe des cas plus surprenants : supposons que la liaison ne soit pas covalente mais plutôt de Lenard-Jones ( modèle des liaisons de Van der Waals) comme dans un cristal de gaz rare: alors K est bien moins élevée et on peut dans le cas de l'hélium se retrouver avec une vibration quantique à température nulle, var(X) ~ d²/10 : or ce critère est celui de Lindemann, pour la possibilité de diffusion des atomes du cristal : celui perd sa cohésion, c'est un LIQUIDE. Ainsi explique-t-on l'anomalie de l'hélium qui est le seul corps impossible à cristalliser par refroidissement seul: il faudra en quelque sorte "raidir" la valeur de K en appliquant une pression pour obtenir l'hélium stable en phase solide : c'est ici, une jolie application de l'inégalité d'Heisenberg.
[modifier] Application à la cuvette 1/n A x^n
A nouveau , l'état fondamental correspondra à la saturation, avec cette caractéristique <Ec> = 1/4 . /m v(X). et le théorème du viriel donnera <Ec>/n-1 = <Ep> = Eo/n ; ce qui donne ( ne serait-ce que par analyse dimensionnelle):
- le paquet d'onde "saturé" reste donc gaussien ( ? bizarre).
[modifier] Application à l'oscillateur 3D
Dans le cas du potentiel 1/2 k (x² + y² + z²), il est clair que la séparation des variables donne immédiatement la fonction d'onde : , avec :
Mais afin de pouvoir traiter l'atome d'hydrogène, on va introduire l' inégalité d'Heisenberg radiale, ce qui est relativement moins étudié dans la littérature.
[modifier] Inégalité d'Heisenberg radiale
On considère uniquement les états s , à symétrie radiale.
- Soit R l'opérateur tel que R² = X² + Y² + Z² := X1² + X2² + X3², en changeant de notation afin de pouvoir éventuellement généraliser (idem pour P )
Le commutateur de P1 et de R est [P1, R] = -i X1/r ( on a pris ).
Et donc on reconnaît la dérivation usuelle : [P1,g(R)] = -i (X1/r).g'(R).
- Soit A1 l'opérateur A1 := P1 + k X1.f(R), k réel , f(r) aussi.
Soit N l'opérateur N := A1*. A1 + A2*. A2 + A3*. A3 (parce qu'on pense à la généralisation de l'opérateur nombre de bosons)
Le calcul donne : N = P² +k².r².f(R)² + k (3f(R) + R.f'(R)), opérateur positif pour tout k.
D'où l' inégalité d'Heisenberg radiale pour les états s de symétrie radiale :
, pour toute f(r) réelle.
En saturation, on retrouve bien les résultats précédents de l'oscillateur 3D, en prenant f(r)=1.
Si f(r) = r^k, on trouve :
avec la même limitation qu'en mécanique classique: k > -3.
[modifier] Application à l'atome d'hydrogène
Dans le cas du potentiel V(r) = -e²/r, choisir f(r) = 1/r :
L'inégalité d'Heisenberg saturée s'écrit cette fois:
, en appelant a la moyenne harmonique de R (c'est à dire la moyenne de l'opérateur 1/R).
- la valeur de k assurant la saturation est juste k = -/a
- on en déduit que la fonction d'onde est anihilée par A1 := P1 -/a.1/R , soit aussi, puisque la fonction d'onde ne dépend que de r ,
.
D'où il résulte que :
Il s'agit de la fonction d'onde saturée ( naturellement, on vérifie que <1/R> = 1/a) .
- Energie minimale: l'inégalité d'Heisenberg donne aussi:
E = <Ec> +<Ep> > = var(P)/2m -e²<1/R> = ,
égalité toujours vraie, pour tout état s.
Cette énergie est minimale quand elle est saturée et que a (moyenne harmonique de r) vaut :
, d'où
(conformément au théorème du viriel).
On a ainsi trouvé ce que ne pouvait pas donner la théorie de l'atome de Bohr (il y avait inexistence des états s): la saturation de l'inégalité d'Heisenberg est ainsi au cœur profond de la Mécanique quantique.
Remarque interrogative : y a-t-il une relation avec le fait que c'est <1/r> qui intervient , et le changement de variable de Binet u(t) = 1/r(t) en mécanique classique ?
[modifier] États cohérents
Plus généralement, il se trouve souvent que les cas de saturation se retrouvent être des états propres de l'hamiltonien. Il y a beaucoup de liens entre cette remarque anodine et la théorie plus sophistiquée des états cohérents.
[modifier] Compléments sur l'Énergie cinétique radiale
ébauche
Ce paragraphe se place dans le cadre des précédentes réflexions, où la non-commutativité joue un rôle crucial.
L'opérateur impulsion vaut, d'après Dirac, .
L'opérateur énergie cinétique s'écrit donc : .
L'habitude est de séparer l'opérateur P² en deux opérateurs quand le champ est central, en faisant intervenir l'opérateur moment cinétique L et l'opérateur impulsion-radiale Pr et il convient d'être très prudent :
,
étant précisé que L.P = 0 et L.r = 0 en tant qu'opérateurs.
L'opérateur P²r agit sur une fonction d'onde découplée S(r)/r . f( θ,φ) comme -S(r) /r . f( θ,φ)
Le calcul de l'opérateur dr/dt est donné par le théorème usuel :
;
avec , il vient :
dr/dt = Pr/m , somme toute assez facile à retenir mnémotechniquement.
Si la symétrie radiale est respectée, [L², H] = 0 et dans l'état de moment cinétique l , L² = l(l+1) , alors :
.
ceci conduira à une équation radiale assez simple à mémoriser ( cf atome d'hydrogène).
Mais il reste à expliquer pourquoi tous les calculs se combinent aussi bien. Et de plus , dans le cas coulombien , expliquer la symétrie SO(4) qui donne le vecteur excentricité.( ébauche)