Racine de l'unité

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En mathématiques, étant donné un nombre entier naturel non nul n, une racine n-ième de l'unité (parfois appelée nombre de de Moivre du nom d'Abraham de Moivre) est un nombre complexe dont la puissance n-ième vaut 1. Pour un entier n donné, toutes les racines n-ième de l'unité sont situées sur le cercle unité et sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés ayant un sommet d'affixe 1.

L'expression « racine n-ième » n'a pas valeur de norme, elle provient de l'habitude qu'ont les mathématiciens, souvent, de nommer un entier naturel n. Si l'entier en question est noté p, on parlera de « racine p-ième », etc.

Sommaire

1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés
- 3.1 Expression complexe
- 3.2 Polygones réguliers
4 Polynôme cyclotomique
5 Corps cyclotomiques

[modifier] Définition

Pour un entier naturel non nul n donné, on appelle racine n-ième de l'unité toute solution complexe de l'équation

$z^n=1\,$

d'inconnue z. Il existe exactement n racines n-ièmes de l'unité. Les racines n-ièmes de l'unité forment un groupe cyclique d'ordre n pour la multiplication des nombres complexes avec 1 comme élément neutre.

Chaque racine du groupe a pour ordre l'entier d défini comme le plus petit entier strictement positif tel que $z^d=1\,$ . L'ordre d de la racine est un diviseur de n. Une racine n-ième de l'unité est dite primitive quand elle est d'ordre exactement n, c'est-à-dire quand c'est un générateur de ce groupe cyclique.

[modifier] Exemples

Les racines troisièmes (ou cubiques) de l'unité sont

$\left\{ 1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}$

Les racines primitives troisièmes de l'unité sont

$\left\{ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}$

La première est habituellement notée j et la seconde, son conjugué, $\bar{j}$ .

Les racines quatrièmes de l'unité sont

$\left\{ 1, +i, -1, -i \right\}$

Les racines primitives quatrièmes de l'unité sont

$\left\{ +i, -i \right\}$

[modifier] Propriétés

[modifier] Expression complexe

Le racines n-ièmes de l'unité peuvent s'écrire sous la forme

$e^{\frac{2 k \pi i} {n}}=\cos\left(\frac{2k \pi}{n}\right) +i\sin\left(\frac{2k \pi}{n}\right) \qquad (k,n \in \mathbb{N} \mbox{ et } 0\le k < n)$

Lorsque l'entier n est supérieur ou égal à 2, la somme de ces nombres est égale à 0, un fait simple qui est souvent utile en mathématiques. Il peut être démontré de différentes manières, par exemple en reconnaissant une somme d'une progression géométrique.

Les racines primitives n-ièmes de l'unité sont exactement les nombres de la forme $e^{\frac{2k i \pi}{n}}$ où k et n sont premiers entre eux. Par conséquent, il y a $\varphi(n)\,$ racines primitives n-ièmes de l'unité différentes, où $\varphi\,$ désigne la fonction φ d'Euler.

[modifier] Polygones réguliers

Dans le plan complexe, les points dont les affixes sont les racines n-ièmes de l'unité sont les sommets du polygone régulier à n côtés inscrit dans le cerlce de centre O (le point d'affixe zéro) et de rayon 1.

L'étude de ces nombres, grâce aux puissants outils de l'algèbre, facilite donc celle, beaucoup plus ancienne, des polygones réguliers.

[modifier] Polynôme cyclotomique

Article détaillé: Polynôme cyclotomique

Les racines n-ièmes de l'unité sont précisément les racines du polynôme $P(X)=X^n-1\,$ . Les racines primitives n-ièmes de l'unité sont exactement les racines du polynôme d'indice n suivant :

$\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(X-z_k)\;$

où $z_1, \ldots, z_{\varphi(n)}\,$ sont les racines primitives n-ièmes de l'unité et $\varphi(n)$ la fonction indicatrice d'Euler. Le polynôme $\Phi_n(X)\,$ a des coefficients entiers et est irréductible sur l'ensemble des rationnels (c’est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit comme produit de deux polynômes de degré strictement positif à coefficients rationnels). Le cas particulier où n est premier, plus simple que le cas général, se déduit du critère d'Eisenstein (effectuer le changement de variable X = T+1, alors $\quad\Phi_n(X)=((T+1)^n-1)/T$ se traite immédiatement par le critère d'Eisenstein).

Chaque racine n-ième de l'unité est une racine primitive d-ième de l'unité pour exactement un diviseur positif de n. Cela implique que

$X^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d(X).\;$

Cette formule représente la décomposition du polynôme $X^{n} - 1\,$ en produits de facteurs irréductibles et peut également être employée pour calculer récursivement les polynômes cyclotomiques. Par ailleurs elle permet récursivement de prouver que les polynômes cyclotomiques sont à coefficients entiers et unitaires (la division de $\quad X^n - 1$ par un polynôme à coef. entiers et unitaire donne bien un quotient également à coefficients entiers et unitaire.

[modifier] Corps cyclotomiques

Article détaillé: Polynôme cyclotomique

En adjoignant une racine primitive n-ième de l'unité à $\mathbb{Q}$ , nous obtenons le corps n-cyclotomique $\mathbb{F}_n$ . Ce corps contient toutes les racines n-ièmes de l'unité et est le corps de décomposition sur $\mathbb{Q}$ du polynôme cyclotomique d'indice n. L'extension de corps $\mathbb{F}_n/\mathbb{Q}$ est de degré $\varphi(n)$ et son groupe de Galois est naturellement isomorphe au groupe multiplicatif des inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

Comme le groupe de Galois de $\mathbb{F}_n/\mathbb{Q}$ est abélien, c'est une extension abélienne. Tout sous-corps d'un corps cyclotomique est une extension abélienne du corps des nombres rationnels. Dans ces cas, la théorie de Galois peut être écrite tout à fait explicitement en termes de périodes gaussiennes : cette théorie tirée du Disquisitiones Arithmeticae de Gauss fut publiée beaucoup d'années avant la théorie de Galois.

Réciproquement, chaque extension abélienne du corps des nombres rationnels est un sous-corps d'un corps cyclotomique - un théorème de Kronecker, habituellement appelé le théorème de Kronecker-Weber parce que Weber en a établi la démonstration.