Invariant de Runge Lenz
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Dans le cas du mouvement keplerien (lois de Kepler), il existe, en sus de l'Energie mécanique E° et du moment cinétique L°, 3 autres constantes du mouvement : le vecteur dit "excentricité e :
e = u + L°/\V/GMm².
dont on vérifie aisément que la dérivée est nulle. Soit au total sept constantes du mouvement pour 6 C.I. : il y a nécessairement une relation entre elles : e.L° = 0. Cet invariant donne lieu à 2 considérations :
- l'une d'ordre théorique sur la symétrie SO(4) ou SO(3,1)
- l'autre d'histoire des sciences (la Contribution d'Hermann).
Sommaire |
[modifier] Symétrie SO(4) et dégénérescence
la dégénérescence et l'existence de e sont liées à cette symétrie dite dynamique;
Voir Landau , Guillemin, mais aussi Sivardière, etc.
La dégénérescence de l'oscillateur harmonique est liée au fait que z->z² fait passer du mouvement de Hooke à celui de Kepler. En mécanique quantique , cela correspond aux formules de passage des polynômes d'Hermite aux polynômes de Laguerre (voir Itzykson).
En présence d'une force F° constante, le mouvement de l'oscillateur harmonique n'est que déplacé : il en résulte que dans le cas de Kepler la symétrie n'est pas tout à fait levée, et d'ailleurs le mouvement peut s'intégrer via les fonctions elliptiques, mais le nombre de bifurcations est assez étonnant : c'est l'effet Stark dit classique.
De même, il reste encore de la symétrie dans le cas de deux centres de force identiques fixes : le mouvement est encore intégrable, mais si nous avions vécu sur une planète d'une étoile double, le problème aurait été dramatiquement plus ardu.
[modifier] de Hermann à Laplace
voir Albouy , Chenciner : ces deux chercheurs ont fouillé bien plus que Goldstein l'historique de la redécouverte de ce vecteur excentricité, qui remonte apparemment à Hermann. Mais on ne sait pas si le problème cinématique suivant avait été résolu : un bateau navigue en laissant un phare F à babord, au cap 90° et donc décrit un cercle autour du phare, et son hodographe est un cercle. Mais avec un courant uniforme supplémentaire de valeur u inférieure à la vitesse V° du bateau, le bateau décrit une ellipse de foyer F : était-ce l'elliptoïde de Hooke ? On sait que Hooke dessinait merveilleusement bien : un tel problème résolu "step by step" ne lui était pas inaccessible.
Au XVIIIe siècle, l'affaire est entendue, et Laplace utilise le vecteur excentricité pour des calculs de perturbations du mouvement de Kepler.
