Groupe Gamma modulaire

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En mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe quotient de SL(2,ℤ) par son centre {Id, -Id}, souvent noté $Γ(1)$ , ou même tout simplement $Γ$ . Il convient de l'identifier avec l'image de SL(2,ℤ) dans le groupe de Lie PGL(2,ℝ).

[modifier] Action sur le demi-plan de Poincaré

Ce nom provient de l'action à gauche et fidèle de $Γ(1)$ par homographies sur le demi-plan de Poincaré $\mathfrak{H}=\{z\in\mathbb{C},\Im(z)>0\}$ des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive.

Cette action n'est que la restriction de l'action de PGL(2,ℂ) sur la droite projective complexe $\mathbf{P}_1(\mathbb{C})=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ : La matrice $\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)$ agit sur $\mathbf{P}_{1}(\mathbb{C})$ en envoyant z sur $\frac{az+b}{cz+d}$ . En coordonnées homogènes, [z:t] est envoyé sur [az+bt:cz+dt].

Comme le groupe PGL(2,ℝ) stabilise la droite projective réelle $\mathbf{P}_1(\mathbb{R})=\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ de $\mathbf{P}_{1}(\mathbb{C})$ , ce groupe stabilise aussi le complémentaire. Comme PGL(2,ℝ) est en outre connexe, il stabilise également chacune des deux composantes de $\mathbf{P}_1(\mathbb{C}) \backslash \mathbf{P}_{1}(\mathbb{R})$ , en particulier $\mathfrak{H}$ . Il en est donc de même du sous-groupe modulaire $Γ(1)$ .

Domaine fondamental

[modifier] La Courbe modulaire

Le quotient du demi-plan de Poincaré par le groupe modulaire donne lieu à une surface de Riemann $\Gamma\backslash\mathfrak{H}$ («Gamma sous H»), souvent notée, ce qui selon les conventions peut être considéré un abus de notations, $\mathfrak{H}/\Gamma$ («H sur Gamma»).

Cette surface de Riemann est souvent dénomée courbe modulaire, car elle paramètre les classes d'isomorphismes de courbes elliptiques complexes. Mieux, la courbe modulaire est la droite complexe ℂ. À chaque courbe elliptique complexe E correspond un nombre complexe, son j-invariant, noté j(E) ou $j E$ . Ce nombre caractérise la courbe elliptique E à isomorphisme près. On dit que c'est son module.

À tout point $τ$ du demi-plan de Poincaré on associe le tore quotient $E_\tau=\mathbb{C}/(\Z+\tau\Z)$ . C'est une courbe elliptique. On peut donc considérer son module $j (E τ)$ . On obtient ainsi une fonction à valeurs complexes définie sur $\mathfrak{H}:$ c'est la fonction j. C'est une fonction holomorphe sur $\mathfrak{H}.$ Comme $E τ$ ne dépend que du réseau $\Z+\tau\Z$ , la fonction est constantes sur les orbites de $Γ$ : on dit qu'elle commute à l'action de $Γ$ . Ainsi la fonction j induit par passage au quotient une application $\Gamma\backslash\mathfrak{H}\rightarrow \mathbb{C}$ . Cette application est bijective et biholomorphe, ce qui justifie le nom de courbe modulaire donné au quotient $\Gamma\backslash\mathfrak{H}$ .

[modifier] Présentation du groupe modulaire

On montre que le groupe modulaire est engendré par les deux transformations

$S: z\mapsto -1/z$

$T: z\mapsto z+1$

de sorte que tout élément du groupe modulaire est (de plusieurs façons) la composition de puissances de S et T.

Géométriquement, S est l'inversion par rapport au cercle unité, suivie par la réflexion par rapport à la droite Re(z)=0 ; T est la translation d'une unité vers la droite.

Les générateurs S et T vérifient les relations S² = 1 et (ST)³ = 1. Ces relations fournissent une présentation du groupe modulaire :

$\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle$