Formule intégrale de Cauchy

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

La formule intégrale de Cauchy est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait qu'une fonction holomorphe définie sur un disque est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur la frontière de ce disque. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.

Supposons que U soit un sous-ensemble ouvert du plan complexe $\mathbb C$ , que $f:U\rightarrow \mathbb C$ soit une fonction holomorphe, et que le disque $D = \{ z, \mid z - z_0 \mid \le r \}$ soit complètement contenu dans U. Soit C le cercle formant la frontière de D. Alors nous avons, pour tout a appartenant à l'intérieur de D:

$f(a) = {1 \over 2\pi i} \int_C {f(z) \over z-a}\, dz$

où l'intégrale doit être prise dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

La preuve de cette affirmation utilise le théorème intégral de Cauchy et, tout comme ce théorème, nous avons juste besoin que f soit dérivable en la variable complexe. Nous pouvons alors déduire de cette formule que f est indéfiniment continûment dérivable, avec

$f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \int_C {f(z) \over (z-a)^{n+1}}\, dz$

Nous pouvons remplacer le cercle C par un arc rectifiable fermé (c'est-à-dire un lacet) dans U qui ne se coupe pas avec lui-même et qui est orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La formule reste valable pour n'importe quel point a appartenant au domaine délimité par ce chemin. De plus, comme dans le cas du théorème intégral de Cauchy, il est suffisant de supposer que f est holomorphe dans l'intérieur de ce domaine et continue sur l'adhérence de ce domaine.

Ces formules peuvent être utilisées pour démontrer le théorème des résidus, qui est une importante généralisation.

[modifier] Schémas de la démonstration de la formule intégrale de Cauchy

En utilisant le théorème intégral de Cauchy, nous pouvons montrer que l'intégrale sur C (ou le chemin rectifiable fermé) est égale à la même intégrale prise sur n'importe quel cercle de centre a.

Puisque f est continue, nous pouvons considérer un cercle assez petit sur lequel f est presque constante et égale à f(a). Nous avons alors besoin de calculer l'intégrale

$\int{\frac{1}{z - a}}\, dz\,$