Fonction polylogarithme
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La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquiére) est une fonction remarquable et peut être définie pour tout s et |z|<1 par :
Le paramètre s et l'argument z sont pris sur l'ensemble , l'ensemble des nombres complexes. Les cas particuliers s=2 et s=3 sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelque fois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein. Les polylogarithmes ne doivent pas être confondus avec les fonctions polylogarithmiques ni avec le logarithme intégral qui possèdent une notation similaire.
Le polylogarithme est défini sur un intervalle de z plus grand que la définition ci-dessus permis par le processus de prolongement analytique.
Sommaire |
[modifier] Propriétés
Dans le cas important où le paramètre s est un nombre entier, il sera représenté par n (ou -n lorsqu'il est négatif). Il est souvent pratique de définir où ln est la branche principale du logarithme naturel, c’est-à-dire . Ainsi, toute l'exponentiation sera supposée être à valeur unique. (e.g. ).
Dépendant du paramètre s, le polylogarithme peut être à valeurs multiples. La branche principale du polylogarithme est choisi pour lequel est réel pour z réel, et est continu excepté sur l'axe des réels positifs, où une coupure est faite de z=1 à telle que la coupure place l'axe réel sur le demi-plan le plus bas de z. En termes de , ceci s'élève à . Le fait que le polylogarithme puisse être discontinu en peut causer une certaine confusion.
Pour z réel et , la partie imaginaire du polylogarithme est (Wood) :
En traversant la coupure :
Les dérivées du polylogarithme sont :
[modifier] Valeurs particulières
Voir aussi la section "#Relation de parenté avec les autres fonctions" ci-dessous.
Pour les valeurs entières de s, nous avons les expressions explicites suivantes :
Le polylogarithme, pour toutes les valeurs entières négatives de s, peut être exprimé comme un rapport de polynômes en z (Voir les représentations en série ci-dessous). Certaines expressions particulières pour les demies valeurs entières de l'argument sont :
où est la fonction Zeta de Riemann. Aucune formule similaire de ce type n'est connue pour des ordres plus élevés (Lewin, 1991 p2).
[modifier] Expressions alternatives
- L'intégrale de la distribution de Bose-Einstein est exprimée en termes de polylogarithme :
- L'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac est aussi exprimée en termes de polylogarithme :
- Le polylogarithme peut plutôt être généralement représenté par une intégrale curviligne d'Hankel (Whittaker & Watson sect. 12.22, sect. 13.13). Tant que le pôle de l'intégrande n'est pas relié à l'axe réel positif, et , nous avons :
- La relation carrée est facilement vue à partir de l'équation : (voir aussi Clunie, Schrödinger) :
[modifier] Relation de parenté avec les autres fonctions
- Pour z=1, le polylogarithme se réduit à la fonction Zeta de Riemann
- Le polylogarithme est relié à la fonction eta de Dirichlet et la fonction beta de Dirichlet :
- Le polylogarithme est équivalent à l'intégrale de Fermi-Dirac (GNU)
- Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction transcendante de Lerch (Erdélyi sect. 1.11-14)
- Le polylogarithme est relié à la fonction zeta d'Hurwitz par :
- En utilisant la relation entre la fonction zeta d'Hurwitz et les polynômes de Bernoulli :
- Le polylogarithme avec un imaginaire pur peut être exprimé en termes de fonctions de Clausen et (Lewin, 1958 Ch VII sect. 1.4, Abramowitz & Stegun sect. 27.8)
- La fonction tangente intégrale inverse (Lewin, 1958 Ch VII sect. 1.2) peut être exprimée en termes de polylogarithmes :
- La fonction chi de Legendre (Lewin, 1958 Ch VII sect. 1.1, Boersma) peut être exprimée en termes de polylogarithmes :
- Le polylogarithme peut être exprimé comme une série de fonctions de Debye (Abramowitz & Stegun sect. 27.1)
[modifier] Représentations en séries
- Nous pouvons représenter le polylogarithme comme une série de puissances pour comme suit : (Robinson). Considérons la transformation de Mellin :
- L'équation définie peut être étendue aux valeurs négatives du paramètre s en utilisant une intégrale curviligne d'Hankel (Wood, Gradshteyn & Ryzhik sect. 9.553) :
- Pour les entiers négatifs s, le polylogarithme peut être exprimé comme une série impliquent les nombres d'Euler
- Une autre formule explicite pour les entiers négatifs s est (Wood) :
[modifier] Comportement aux limites
Les limites suivantes restent valables pour le polylogarithme (Wood) :
[modifier] Echelles de polylogarithmes
Leonard Lewin a découvert une remarquable généralisation d'un grand nombre de relations classiques sur les polylogarithmes pour des valeurs particulières. Celles-ci sont maintenant appelées les échelles de polylogarithmes. Définissons comme l'inverse du nombre d'or. Alors, deux exemple simples des résultats issus des échelles incluent
donné par Landen. Les échelles de polylogarithmes apparaissent naturellement et profondément en K-théorie.
[modifier] Histoire
Don Zagier a remarqué que "Le dilogarithme est la seule fonction mathématique avec un sens de l'humour."
[modifier] Publications en langue anglaise
- Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (ed.), Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1964; reprinted Dover Publications, 1965.
- Boersma, J. and Dempsey, J. P. "On the evaluation of Legendre's chi-function", Mathematics of Computation, 59, 199, pp. 157-163, 1992.
- Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; Broadhurst, D. J.; and Lisonek, P. "Special Values of Multidimensional Polylogarithms." CECM-98:106, 14 May. http://www.cecm.sfu.ca/preprints/1998pp.html\#98:106
- Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 323-326, 1994.
- Clunie, J., "On Bose-Einstein functions", Proceedings of the Physical Society, Section A, 67, pp. 632-636, 1954.
- Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, 1981.
- Fornberg, B. and Kölbig, K. S., "Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function", Mathematics of Computation, 29, 130, pp. 582-599, 1975.
- Gradshteyn, I.S. and Ryzhik, I.M., Tables of Integrals, Series, and Products, Academic Press, New York 1980.
- Jahnke, E. and Emde, F., Tables of Functions with Formulae and Curves, Dover, 1945.
- Kölbig, K. S., Mignaco, J. A., and Remiddi, E., "On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation", BIT, 10, pp. 38-74, 1970.
- Kölbig, K. S. "Nielsen's Generalized Polylogarithms", SIAM J. Math. Anal. 17, pp. 1232-1258, 1986.
- Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, 1958.
- Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981.
- Lewin, Leonard. (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991. ISBN 0-8218-4532-2
- McDougall, J. and Stoner, E. C. "The computation of Fermi-Dirac functions", Philosophical Transactions of the Royal Society, Series A, 237, pp. 67-104, 1939.
- Markman, B., "The Riemann Zeta Function", BIT,5, pp. 138-141, 1965.
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- Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Generalized Zeta Function, Bernoulli Polynomials, Euler Polynomials, and Polylogarithms ." §1.2 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 23-24, 1990.
- Schrödinger, E., Statistical Thermodynamics, Cambridge, 1952.
- Truesdell, C. "On a function which occurs in the theory of the structure of polymers", Annals of Mathematics, Series 2, 46, No 1, pp. 144-1457, 1945.
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course of Modern Analysis, Cambridge, 1927.
- Wood, David C., Technical Report 15-92, University of Kent computing Laboratory, University of Kent, Canterbury, UK June, 1992.
- Zagier, D. "Special Values and Functional Equations of Polylogarithms." Appendix A in Structural Properties of Polylogarithms (Ed. L. Lewin). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991.
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