Fonction beta de Dirichlet

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En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zeta de Riemann. C'est un cas particulier de fonction L de Dirichlet pour le caractère de Dirichlet alterné de période 4.

Elle est définie comme la fonction d'une variable complexe s, pour s de partie réelle plus grande que 1, par la série :

$\beta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}$ ,

ou par l'intégrale

$\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^x}{e^{2x} + 1}\,dx$ .

Cette fonction se prolonge de facon méromorphe sur le plan complexe.

[modifier] Équation fonctionnelle

L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re s <1.

$\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) \cos \frac{\pi s}{2}\,\beta(1-s)$

où Γ(s) est la fonction Gamma d'Euler.

[modifier] Valeurs spéciales

On peut noter les valeurs particulières suivantes :

$\beta(1)\;=\;\frac{\pi}{4}$ ,
$\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}$ .

Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.

$\beta(2k+1)\;=\;\frac{E_{2k}}{2(2k)!}(\frac{\pi}{2})^{2k+1}$ ,

ou les $E 2 k$ sont des nombres d'Euler.

Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs. Le nombre $β(2)$ est appelé la constante de Catalan.

[modifier] Voir aussi

fonction zeta d'Hurwitz

[modifier] Réferences

J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.

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Sommaire

[modifier] Équation fonctionnelle

[modifier] Valeurs spéciales

[modifier] Voir aussi

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