Fermeture (mathématiques)

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En mathématiques, on dit qu'un ensemble est fermé pour une opération si cette opération sur les membres de l'ensemble produit un membre de l'ensemble. Un sous-ensemble qui est fermé pour cette même opération est qualifié de partie stable de l'ensemble. Par exemple, les nombres réels sont fermés pour la soustraction, mais les entiers naturels ne le sont pas : 3 et 7 sont tous deux des entiers naturels, mais (3 − 7) ne l'est pas.

De même, on dit qu'un ensemble est « fermé pour une collection d'opérations » s'il est fermé pour chacune des opérations prise individuellement.

On dit d'un ensemble fermé pour une opération ou une collection d'opérations qu'il satisfait la « propriété de fermeture ». Souvent une propriété de fermeture est introduite comme un axiome qu'on appelle généralement « axiome de fermeture ». Notons que la définition par la théorie moderne des ensembles définit généralement les opérations comme des fonctions sur des ensembles, donc il est superflu d'ajouter comme axiome la fermeture à une structure. Par contre, se demander si des sous-ensembles sont fermés pour ces opérations n'est pas superflu.

Quand une ensemble S n'est pas fermé pour certaines opérations, on peut généralement trouver le plus petit ensemble contenant S qui est fermé. On appelle ce plus petit sous-ensemble « fermeture de S » pour lesdites opérations. Par exemple, la fermeture pour la soustraction de l'ensemble des entiers naturels, vu comme sous-ensemble des nombres réels, est l'ensemble des entiers. La fermeture topologique est un autre exemple important.

Notons que l'ensemble S doit être un sous-ensemble d'un ensemble fermé pour que l'opérateur de fermeture puisse être défini. Dans l'exemple précédent, il est important que les réels soient fermés pour la soustraction. Dans l'ensemble des entiers naturels, la soustraction n'est pas toujours définie.

Les deux usages du mot « fermeture » ne doivent pas être confondus. Le premier usage se réfère à la propriété d'être fermé. Le second se réfère au plus petit ensemble fermé contenant un ensemble qui ne l'est pas. Donc, la fermeture d'un ensemble satisfait la propriété de fermeture.

[modifier] Ensemble fermé

Un ensemble est fermé pour une opération si celle-ci retourne un membre de cet ensemble quand elle est évaluée sur des membres de cet ensemble. Quelquefois la condition que l'opération doit être évaluée dans une ensemble est explicitement spécifiée. Auquel cas, elle est connue sous le nom d'axiome de fermeture. Par exemple, on peut définir un groupe comme un ensemble avec un produit binaire tel que le produit de deux éléments quelconques de cet ensemble soit aussi un élément dudit ensemble. Néanmoins, la définition moderne d'une opération rend cet axiome superflu. Un opérateur d'arité n sur S est simplement un sous ensemble de Sⁿ⁺¹. Par sa définition même, un opérateur sur un ensemble ne peut pas avoir de valeurs en dehors de cet ensemble.

Néanmoins, la propriété de fermeture d'un opérateur sur un ensemble est utile. La fermeture sur un ensemble n'implique pas nécessairement la fermeture de tous les sous-ensembles. Ainsi un sous-groupe d'un groupe est un sous-ensemble pour lequel le produit binaire satisfait l'axiome de fermeture.

Une opération d'un type différent est la recherche des points limites d'un sous-ensemble d'un espace topologique si l'espace est first-countable (fr?), il suffit de se restreindre à la limite d'une suite mais en général, on doit considérer les limites d'une suite de Moore-Smith. On appelle ensemble fermé un ensemble qui est fermé pour cette opération dans le contexte d'une topologie. Sans autre qualification, la phrase signifie fermé selon ce sens. Les intervalles fermés comme [1,2] = {x: 1 ≤ x ≤ 2} sont fermés selon ce sens.

[modifier] Opérateur de fermeture

Soit une opération sur un ensemble X, on peut définir la fermeture C(S) du sous-ensemble X comme le plus petit sous-ensemble fermé avec l'opération qui contient Scomme un sous-ensemble. Par exemple, la fermeture d'un sous-ensemble d'un groupe est le sous groupe généré par cet ensemble.

La fermeture d'ensembles pour une opération définit un opérateur de fermeture sur les sous-ensembles de X. On peut déterminer les ensembles fermés à partir de l'opérateur de fermeture. Les opérations de fermeture ont des propriétés structurelles :

La fermeture est croissantes ou extensive : la fermeture d'un objet le contient.
La fermeture est idempotente : la fermeture d'une fermeture est la fermeture elle-même.
La fermeture est monotone : si X est contenu dans Y, alors C(X) est contenu dans C(Y).

Ces trois propriétés définissent un « opérateur de fermeture abstraite ». Un objet qui est sa propre fermeture est appelé « fermé ». Par idempotence, un objet est fermé ssi il est la fermeture d'un objet. Typiquement, une fermeture abstraite agit sur la classe de tous les sous-ensembles d'un ensemble.

[modifier] Exemples

En topologie , l'opération appropriée est la prise de limites. La fermeture topologique d'un ensemble est l'opérateur de fermeture correspondant. Les axiomes de fermeture de Kuratowski caractérisent cet opérateur.
En algèbre linéaire, l'empan linéaire d'un ensemble X de vecteurs est la fermeture de cet ensemble. C'est le plus petit sous-ensemble de l'espace vectoriel qui inclut X et qui est fermé pour l'opération de combinaison linéaire. Ce sous-ensemble est un sous-espace vectoriel.
Dans la théorie des matroïdes, la fermeture de X est le plus grand surensemble de X qui a le même rang que X.
Dans la théorie des ensembles, la fermeture transitive est la relation binaire.
En algèbre, l'opération est la fermeture algébrique d'un corps.
En algèbre commutative, l'opération est la fermeture intégrale ou la fermeture serrée (?).
En géométrie, l'enveloppe convexe d'un ensemble S de points est le plus petit ensemble convexe dont S est un sous-ensemble.
Dans la théorie des langages formelss, la fermeture de Kleene d'un langage est l'ensemble des chaînes qui peuvent être générées en concaténant zéro ou plusieurs chaînes de ce langage.
En théorie des groupes, la fermeture distinguée d'un groupe est le plus petit sous-groupe distingué contenant l'ensemble.