Partie génératrice d'un groupe

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Une partie génératrice d'un groupe G est une partie A telle que tout élément du groupe s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de A et de leurs inverses. Durant tout l'article, la lettre G désigne un groupe, dont la loi est notée multiplicativement, et dont le neutre est noté $e$ .

Sommaire

1 Sous-groupe engendré par une partie
- 1.1 Exemple
2 Partie génératrice d'un groupe
3 Ordre d'un élément
4 Isomorphisme entre groupes monogènes

[modifier] Sous-groupe engendré par une partie

L'intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G. Pour une partie $S \subset G$ de $G$ , il existe un sous-groupe de $G$ , minimal pour l'inclusion, contenant $S$ , à savoir l'intersection de tous les sous-groupes contenant S. On l'appelle sous-groupe engendré par S, et noté $\left \langle S \right \rangle$ .

Description : Il est parfois utile de disposer d'une description des éléments du groupe $\left \langle S \right \rangle$ . Ce sont exactement les produits d'éléments ou d'inverses de $S$ :

$\left\langle S \right\rangle = \left\{ x_1^{\varepsilon _1} x_2^{\varepsilon _2} \cdots x_n^{\varepsilon _n} | n \in \mathbb{N} \; \mbox{et} \; \forall i, x_i \in S, \varepsilon_i = \pm 1 \right\}$

Par convention, le produit vide est égal au neutre $e$ du groupe.

[modifier] Exemple

Dans le groupe abélien Z/ n Z, le groupe engendré par la classe d'un entier k est le sous-groupe Z/ d Z où d désigne le pgcd de k et de n.

Dans le cas d'un groupe $G$ fini, l'inverse d'un élément $x$ est une puissance de $x$ (plus précisément, on a $x - 1 = x d - 1$ , où $d$ désigne l'ordre de $x$ ). Il suit donc que le sous-groupe engendré par un sous-ensemble $S$ d'un groupe fini $G$ , est l'ensemble des éléments de $G$ qui sont produits d'éléments de $S$ .

[modifier] Partie génératrice d'un groupe

On dit que $S$ est une partie génératrice du groupe $G$ , ou que $G$ est engendré par $S$ lorsque :

$G = \langle S \rangle$

Autrement dit, tout élément de G est produit d'éléments de S ou de leurs inverses. Certaines fois, il peut être pratique de disposer d'un algorithme permettant d'expliciter un tel produit.

[modifier] Groupe monogène

Le groupe $G$ est dit monogène s'il est engendré par un seul de ses éléments.

G

est monogène $\Leftrightarrow \exists a \in G \, / \, G = \langle a \rangle$

Si de plus $G$ est fini, alors on dit que $G$ est cyclique.

La classification des groupes monogènes n'est pas difficile. Si a engendre G, l'application $Z\rightarrow G:n\mapsto a^n$ est un homomorphisme de groupes. Par le lemme de factorisation, cet homomorphisme induit l'isomorphisme :

$G\simeq Z/ Ker f$

Or, les sous-groupes de Z sont bien connus : il s'agit des groupes n Z avec $n\geq 0$ . De suite, l'isomorphisme ci-dessus s'écrit :

$G\simeq Z/nZ$

A isomorphisme près, il existe un unique groupe monogène infini, et pour chaque entier naturel n, un unique groupe cyclique de cardinal n.

Les générateurs de Z/n Z sont exactement les classes des entiers k premiers avec n. Leur cardinal est noté $\varphi(n)$ . La fonction $\varphi$ est l'indicatrice d'Euler, elle joue un grand rôle en arithmétique.

[modifier] Groupe abélien de type fini

Le cas monogène peut s'étendre. Si le groupe $G$ est groupe abélien et qu'il est engendré par une famille finie, on parle alors de groupe abélien de type fini. La théorie de ces groupes est parfaitement connue.

[modifier] Groupe linéaire

Le groupe SL_n(K) est engendré par les matrices de transvection.
Le groupe GL_n(K) est engendré par les matrices de transvection et une matrice de dilatation.

On dispose de l'algorithme de Gauss.

[modifier] Ordre d'un élément

Étant donné un élément x de G, l'ordre du sous-groupe cyclique <x> est appelé ordre de x; c'est le plus petit entier strictement positif n tel que xⁿ = e.

$\omega(x^k)=\frac{n}{k\wedge n}$

L'ordre d'un groupe est le ppcm des ordres de ses éléments.

[modifier] Isomorphisme entre groupes monogènes

Un groupe monogène est isomorphe à $\left(\mathbb Z, +\right)$ s'il est d'ordre infini ou à $\left(\mathbb Z/n\mathbb Z, +\right)$ s'il est d'ordre n, où $\mathbb Z$ désigne l'ensemble des entiers relatifs et $\mathbb Z/n\mathbb Z$ l'ensemble des entiers modulo n pour un entier strictement positif n (voir arithmétique modulaire).