Jatkuva funktio
Wikipedia
Funktio 
topologiselta avaruudelta U toiselle V on jatkuva funktio tarkalleen silloin kun jokaisen f:n kuvajoukon avoimen joukon alkukuva on avoin joukko. Tämä on yleisin, joskin usein hankalasti sovellettava määritelmä jatkuvuudelle.
[muokkaa] Yhden reaalimuuttujan tapaus
Funktio on jatkuva kohdassa a, jos ja vain jos sen raja-arvo tässä kohdassa on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa kohdassa a on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret kohdassa a.
Funktio on aina jatkuva, jos se on jatkuva kaikissa kohdissaan, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia.
Yllä on kuvattu yhden muuttujan funktion jatkuvuus. Myös useamman muuttujan funktioiden jatkuvuutta voidaan tarkastella.
Mahdollisia epäjatkuvuuskohtia ovat:
- kohta, jossa paloittain määritelty funktio vaihtuu
Funktion jatkuvuus on välttämätön mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle
[muokkaa] Jatkuvuus reaalianalyysissä
Reaalianalyysissä määritellään funktion jatkuvuus yleensä toisin:
Funktio 
on jatkuva pisteessä c, jos
∀ ε > 0 ∃ δ >0; [x ∈ X ∧ |x -c| < δ] ⇒ |f(x) - f(c)| < ε
Toisin sanoen, jos valitaan mielivaltainen x funktion määrittelyjoukosta ja kuinka pieni hyvänsä positiivinen luku ε, niin on olemassa positiiviluku δ siten, että jos x:n ja c:n etäisyys välinen etäisyys on pienempi kuin δ, niin funktion arvojen erotus pisteissä x ja c on pienempi kuin ε.
Nyt voidaan määritellä jatkuva funktio siten, että funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyvälin pisteessä.
