Base (álgebra)

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En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:

Todos los elementos de la base B deben ser linealmente independientes.
Todos los elementos de la base B deben pertenecer al especio vectorial V.
B debe “generar” V. Es decir que todo elemento perteneciente a V se tiene que poder escribir como una combinación lineal de los elementos de la base B.

Tabla de contenidos

1 Observaciones
2 Bases de Hammel y de Hilbert
- 2.1 Dimensión vectorial
3 Temas relacionados
4 Véase también

[editar] Observaciones

1) Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan el mismo espacio vectorial, las bases no son iguales.

2) De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un mismo especio vectorial. Por ejemplo, si V= ℝ³, una posible base de V es B={(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)}. Pero otras posibles bases de son:

B’={(2,0,0); (0,1,0); (0,0,1)}

B’’={(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)}

B’’’={(504,0,0); (0,7,0); (0,0,1/2)}

En general, una base cualquiera estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a ℝ³.

3) Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos.

4) No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espacio vectorial de los polinomios tienen infinitos elementos. Una posible base es la formada por las potencias de X:

B= {1, X, X², X³, …}

[editar] Bases de Hammel y de Hilbert

En un espacio vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de extender el concepto de combinación lineal finita. De un lado si consideramos sólo combinaciones lineales finitas llegamos al concepto de base vectorial de Hammel u ordinaria. Si admitimos cierto tipo de "combinaciones lineales infinitas" llegamos al concepto de base vectoral de Hilbert. Formalmente las dos definiciones pueden escribirse como sigue:

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En dimensión finita toda base de Hammel es de base de Hilbert y viceversa.

[editar] Dimensión vectorial

La dimensión vectorial de un espacio vectorial se define como el número de elementos o cardinal de una base de dicho espacio. Dado que para todo espacio de Hilbert de dimensión finita podemos distinguir entre bases de Hilbert y de Hammel, podemos definir la dimensión vectorial ordinaria y la dimensión vectorial de Hilbert.