0,9 periódico

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0,9 periódico, denotado como 0,9 ó 0,999… (donde el 9 se repite hasta el infinito), es el número uno.

A continuación se comentan tres argumentos no rigurosos para ilustrarlo y una demostración matemática que lo prueba.

Tabla de contenidos

1 Argumentos no rigurosos
2 Demostración rigurosa
- 2.1 Definición de 0,999…
- 2.2 Demostración por el límite de la serie
3 Generalización
4 Véase también

[editar] Argumentos no rigurosos

[editar] Multiplicación de 1/3

0.333…	= ¹⁄₃
3 × 0.333…	= 3 × ¹⁄₃
0.999…	= 1

Partimos de que 1/3 = 0,333…
Multiplicamos por 3 ambos miembros: 3 × (1/3) = 3 × 0,333…, que debería dar 0,999…
Vemos que 0,999… debe ser forzosamente 1, puesto que (1 / 3) × 3 = 1.

[editar] Con x = 0,999…

x	= 0.999…
10x	= 9.999…
10x − x	= 9.999… − 0.999…
9x	= 9
x	= 1

Suponemos que x = 0,999… [1]
Multiplicamos por 10 los dos números: 10x = 9,999… [2]
Restamos las dos expresiones en los dos miembros: 10 x - x = 9,999… - 0,999… [2] – [1]
Obtenemos que 9x = 9, es decir, x = 1, como queríamos demostrar.

[editar] Con fórmula matemática

0.999…	= ⁹⁄₉
0.999	= 1

Considerando la fórmula matemática

$0.xxx \ldots = \frac{x}{9}$

Tomamos el valor numérico de "x" como "9"
Llegamos a la conclusión de que:

$0.999 \ldots = \frac{9}{9}$

[editar] No existe ningún real entre 0,999… y 1

Un argumento más corto se deduce del siguiente hecho: Si dos números reales son diferentes, entonces existe al menos un tercero entre los dos, diferente de éstos. Éste tercer número puede ser, por ejemplo, la media aritmética de los dos. Como no podemos intercalar ningún número entre 0,999… y 1, estos deben ser iguales.

[editar] Demostración rigurosa

[editar] Definición de 0,999…

Para una demostración más rigurosa, debemos comenzar por definir perfectamente qué es 0,999…

Al escribir 0,999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + … , definimos 0,999… como una serie geométrica (de primer término a = 0,9 y razón q = 1/10) y escribimos: $0,999\ldots = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} 0,9 \times \frac{1}{10^i}$

Para dejar claro que el número de decimales es infinito, podemos escribir la igualdad matemática de la siguiente forma: $\lim_\infty0,999\ldots = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} 0,9 \times \frac{1}{10^i}$

[editar] Demostración por el límite de la serie

Se puede demostrar facilmente que la suma de los n primeros términos de una serie geométrica de razón q y primer término a vale:

$S_n = a \times \frac{1-q^n}{1-q}$

El límite de esta suma cuando n tiende a infinito, si y sólo si q es estrictamente menor que 1, es:

$S = \frac{a}{1-q}$

Como en este caso a = 0,9 y q = 1/10, siendo q menor que 1, el límite existe, y su valor es:

$S = \frac{0,9}{1-1/10} = 1$

[editar] Generalización

La prueba de que $0.9999\ldots$ en base 10 es exactamente 1, se puede generalizar para cualquier base no necesariamente 10.

En base $n + 1$ el número $0.nnnnnnn\ldots$ es exactamente 1.

Se puede verificar que $\sum_{k=1}^{m}a^{k}=\frac{a^{m+1}-a}{a-1}$

Mientras que $0.nnnn\ldots = n\left(n+1\right)^{-1}+n\left(n+1\right)^{-2}+n\left(n+1\right)^{-3}+\cdots =\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{m}n\left(n+1\right)^{-k}$