Vikipedio:Projekto matematiko/Papertapeta grupo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Papertapeta grupo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

papertapeta grupo (aŭ ebena kristalografia grupo) estas matematika koncepto al (klasifiki, klasigi) _repetitive_ (dezajnoj, dezajnas, dizajnas, projektas, dizajnoj, desegnas) sur du-dimensia (surfacoj, surfacas), kiel (muroj, muras), bazita sur la simetrioj en la ŝablono. Tiaj ŝablonoj okazi ofte en arkitekturo kaj _decorative_ arto. La matematika studi de tiaj ŝablonoj (senvualigas, rivelas) (tiu, ke, kiu) akurate 17 malsama (klavas, tipoj) de ŝablonoj povas okazi.

Papertapetaj grupoj estas rilatanta al la pli simplaj frisaj grupoj, kaj al la pli kompleksaj tri-dimensiaj kristalografiaj grupoj (ankaŭ (nomita, vokis) spacaj grupoj).

Enhavo 1 Neformala enkonduko 1.1 Simetrioj de ŝablonoj 2 Formala difino kaj diskuto 2.1 (Izometrioj, Izometrias) de la Eŭklida ebeno 2.2 La sendependa (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) kondiĉo 2.3 La _discreteness_ kondiĉo 2.4 (Skribmanieroj, Skribmanieras) por papertapetaj grupoj 2.4.1 Kristalografia skribmaniero 2.4.2 _Conway_ skribmaniero 2.5 Kial estas akurate dek sep (grupoj, grupas) 3 Gvidi al agnoskantaj papertapetaj grupoj 4 Ŝlosilo al figuroj 5 Krado (klavas, tipoj) 6 Grupo _p1_ 7 Grupo _p2_ 8 Grupo _pm_ 9 Grupo _pg_ 10 Grupo cm 11 Grupo _pmm_ 12 Grupo _pmg_ 13 Grupo _pgg_ 14 Grupo _cmm_ 15 Grupo _p4_ 16 Grupo _p4m_ 17 Grupo _p4g_ 18 Grupo _p3_ 19 Grupo _p3m1_ 20 Grupo _p31m_ 21 Grupo _p6_ 22 Grupo _p6m_ 23 Simetriaj grupoj 24 Dependeco de papertapetaj grupoj sur (transformoj, transformas) 25 TTT _demo_ kaj programaro 26 Vidu ankaŭ jenon: 27 Ekstera (ligoj, ligas) 28 Referencoj

[redaktu] Neformala enkonduko

Ĝi devus esti (tononomita, notita) (tiu, ke, kiu) papertapetaj grupoj _categorize_ ŝablonoj per iliaj simetrioj. Ŝablonoj (tiu, ke, kiu) estas nur malsama sur fermi (aspekti, aspekto, rigardi) (majo, povas) enfali malsama (kategorioj, kategorias), dum ŝablonoj kiu estas tre malsama en stilo, koloro, (krusto, skalo), kaj tiel plu, aŭ estas orientita malsame (kiel turnis per 45° aŭ 90°) (majo, povas) enfali la sama kategorio.

Konsideri jeno (ekzemploj, ekzemplas).

Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) (ekzemploj, ekzemplas) A kaj B havi la sama papertapeta grupo; ĝi estas (nomita, vokis) _p4m_. Ekzemplo C havas malsama papertapeta grupo, (nomita, vokis) _p4g_. La fakto (tiu, ke, kiu) A kaj B havi la sama papertapeta grupo (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ĝi estas neebla al diri ilin aparta sur la bazo de simetrio sola, (dum, ĉar) C povas esti (do, tiel) (distingis, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis).

Plenumi listo de ĉiuj dek sep eblaj papertapetaj grupoj povas troviĝi pli sube sub la plenumi listo de papertapetaj grupoj.

[redaktu] Simetrioj de ŝablonoj

Simetrio de ŝablono estas, lakse parolanta, vojo de konvertanta la ŝablono tiel ke la rezultanta ŝablono (aspektas, aspektoj, rigardas) akurate la sama kiel la unu ni startita kun. Principe la kategriigo aplikas al ŝablonoj kiu daŭri nedefinite totale (direktoj, instrukcio), (do, tiel) ni (bezoni, bezono, necesa) al imagi (tiu, ke, kiu) ili fari. Ankaŭ estas en praktiko _imperfections_, sed ili estas ofte malgranda sufiĉa al kompreni kiuj simetrioj estis intencita, (do, tiel) ni povas bazo la kategriigo sur tiuj.

Iam du (kategriigoj, kategriigas) estas signfa, unu bazita sur (formoj, formas) sola kaj unu ankaŭ inkluzivanta (koloroj, koloras, kolorigas). Kiam (koloroj, koloras, kolorigas) estas ignorita tie (majo, povas) esti pli simetrio. En nigra kaj blanka estas ankaŭ 17 papertapetaj grupoj, ĉar e.g. kolora kahelado estas ekvivalento kun unu en nigra kaj blanka kun la (koloroj, koloras, kolorigas) (kodita, moruita) radiuse en _circularly_ simetria "(mezuro, drinkejo, bari) kodo" en la centro de maso de ĉiu kahelo.

La (klavas, tipoj) de (transformoj, transformas) (tiu, ke, kiu) estas taŭga jen (nomita, vokis) Eŭklidaj ebenaj izometrioj. Ekzemple:

• Se ni (ŝovi, ŝovo) ekzemplo B unu 'unuo' dekstren, tiel ke ĉiu kvadrato kovras la kvadrato (tiu, ke, kiu) estis originale najbara al ĝi, tiam la rezultanta ŝablono estas akurate la sama kiel la ŝablono ni startita kun. Ĉi tiu tipo de simetrio (nomita, vokis) traduko. (Ekzemploj, Ekzemplas) A kaj C estas simila, escepti (tiu, ke, kiu) la (plej minuskla, plej malgranda) ebla (skipoj, ŝovas, ŝovoj) estas en diagonalo (direktoj, instrukcio).
• Se ni turni ekzemplo B laŭhorloĝnadla per 90°, ĉirkaŭ la centro de unu de la (kvadratoj, placoj, kvadratigas), denove ni ricevi akurate la sama ŝablono. Ĉi tiu estas simple (nomita, vokis) turnado. (Ekzemploj, Ekzemplas) A kaj C ankaŭ havi 90° (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas), kvankam ĝi postulas iom pli _ingenuity_ al trovi la (ĝusta, ĝustigi, korekti) centro de turnado por C.
• Ni povas ankaŭ klaki ekzemplo B transa horizontala akso (tiu, ke, kiu) (kuras, rulas) transa la mezo de la bildo. Ĉi tiu estas (nomita, vokis) reflekto. Ekzemplo B ankaŭ havas (reflektoj, reflektas) transa vertikala akso, kaj transa du diagonalo (hakiloj, hakas). La sama povas esti dirita por A.

Tamen, ekzemplo C estas malsama. Ĝi nur havas (reflektoj, reflektas) en horizontalo kaj vertikala (direktoj, instrukcio), ne transa diagonalo (hakiloj, hakas). Se ni klaki transa diagonala linio, ni fari ne preni la sama ŝablona dorso; kio ni fari preni estas la originala ŝablono (skipis, ŝovita) transa per certa distanco. Ĉi tiu estas parto de la kaŭzo (tiu, ke, kiu) A kaj B havi malsama papertapeta grupo al C.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) havanta du (aŭ e.g. kvin) egalaj bildoj flanke de unu la alian estas ne mova simetrio: por (tiu, ke, kiu) tie devi esti malfinie multaj (kopioj, kopias).

[redaktu] Formala difino kaj diskuto

papertapeta grupo aŭ ebena kristalografia grupo estas tipo de topologie diskreta grupo de (izometrioj, izometrias) de la Eŭklida ebeno kiu enhavas du lineare sendependa (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias).

Du tiaj izometriaj grupoj estas de la sama tipo (de la sama papertapeta grupo) se ili estas la sama supren al afina transformo de la ebeno. Tial e.g. traduko de la ebeno (de ĉi tie traduko de la (speguloj, spegulas) kaj centroj de turnado) ne afekti la papertapeta grupo. La sama aplikas por ŝanĝi de angulo inter traduko (vektoroj, vektoras), se ĝi ne adicii aŭ forpreni (ĉiu, iu) simetrio (ĉi tiu estas nur la (kesto, okazo) se estas ne (speguloj, spegulas) kaj ne glitaj reflektoj, kaj turna simetrio estas maksimume de (mendi, ordo) 2).

Malverŝajne en la tri-dimensia (kesto, okazo), ni povas ekvivalente limigi la afinaj transformoj al tiuj kiu konfiti orientiĝo.

Ĝi sekvas de la _Bieberbach_ teoremo (tiu, ke, kiu) ĉiuj papertapetaj grupoj estas malsama (ebena, para, eĉ) kiel abstrakta (grupoj, grupas) (kiel kontraŭ e.g. Frisaj grupoj, kies du estas izomorfia kun Z).

2D ŝablonoj kun duopa mova simetrio povas esti _categorized_ laŭ ilia simetria grupa tipo.

[redaktu] (Izometrioj, Izometrias) de la Eŭklida ebeno

(Izometrioj, Izometrias) de la Eŭklida ebeno fali enen kvar (kategorioj, kategorias) (vidi la artikola Eŭklida ebena izometrio por pli informo).

• (Tradukoj, Tradukas, Translacioj, Translacias), signifita per T_v, kie v estas vektoro en R². Ĉi tiu havas la efiki de (skipanta, ŝovanta) la ebena aplikanta delokiga vektoro v.
• (Rotacioj, Rotacias, Turnadoj, Turnadas), signifita per R_c,θ, kie c estas punkto en la ebeno (la centro de turnado), kaj θ estas la angulo de turnado.
• (Reflektoj, Reflektas), aŭ spegulo (izometrioj, izometrias), signifita per F_L, kie L estas linio en R². (F estas por "klaki"). Ĉi tiu havas la efiki de reflektanta la ebeno en la linio L, (nomita, vokis) la reflekta akso aŭ la asociita spegulo.
• Glitaj reflektoj, signifis per G_L,d, kie L estas linio en R² kaj d estas distanco. Ĉi tiu estas kombinaĵo de reflekto en la linio L kaj traduko laŭ L per distanco d.

[redaktu] La sendependa (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) kondiĉo

La kondiĉo sur lineare sendependa (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) tie ekzisti lineare sendependa (vektoroj, vektoras) v kaj w (en R²) tia (tiu, ke, kiu) la grupo enhavas ambaŭ T_v kaj T_w.

La celo de ĉi tiu kondiĉo estas al (distingi, diferencigi) papertapetaj grupoj de frisaj grupoj, kiu havi nur sola lineare sendependa traduko, kaj de du-dimensiaj diskretaj punktaj grupoj, kiu havi ne (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) ajn. En alia (vortoj, vortas), papertapetaj grupoj prezenti ŝablonoj (tiu, ke, kiu) ripeti sin en du klara (direktoj, instrukcio), en kontrasto al frisaj grupoj kiu nur ripeti laŭ sola akso.

(Ĝi estas ebla al ĝeneraligi ĉi tiu situacio. Ni povita ekzemple studi diskretaj grupoj de (izometrioj, izometrias) de Rⁿ kun m lineare sendependa (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias), kie m estas (ĉiu, iu) entjero en la limigo 0 ≤ m ≤ n.)

[redaktu] La _discreteness_ kondiĉo

La _discreteness_ kondiĉo (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) estas iu pozitiva reela nombro ε, tia (tiu, ke, kiu) por ĉiu traduko T_v en la grupo, la vektoro v havas longo almenaŭ ε (escepti kompreneble en la (kesto, okazo) (tiu, ke, kiu) v estas la nula vektoro).

La celo de ĉi tiu kondiĉo estas al certiĝi (tiu, ke, kiu) la grupo havas kompakta fundamenta domajno, aŭ en alia (vortoj, vortas), "ĉelo" de nenulo, finia areo, kiu estas ripetita tra la ebeno. Sen ĉi tiu kondiĉo, ni povus havi ekzemple grupo enhavanta la traduko T_x por ĉiu racionala nombro x, kiu devus ne esti konforma laŭ (ĉiu, iu) modera papertapeta ŝablono.

Unu grava kaj netriviala konsekvenco de la _discreteness_ kondiĉo en kombinaĵo kun la sendependa (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) kondiĉo estas (tiu, ke, kiu) la grupo povas nur enhavi (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) de (mendi, ordo) 2, 3, 4, aŭ 6; tio estas, ĉiu turnado en la grupo devas esti turnado per 180°, 120°, 90°, aŭ 60°. Ĉi tiu fakto estas sciata kiel la kristalografia limiga teoremo, kaj povas esti ĝeneraligita al pli alta-dimensia (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas).

[redaktu] (Skribmanieroj, Skribmanieras) por papertapetaj grupoj

[redaktu] Kristalografia skribmaniero

Kristalografio havas 230 spacaj grupoj al (distingi, diferencigi), malproksime pli ol la 17 papertapetaj grupoj, sed multaj de la simetrioj en la (grupoj, grupas) estas la sama. Tial ni povas uzi simila skribmaniero por ambaŭ (specoj, specas) de (grupoj, grupas), (tiu, ke, kiu) de _Carl_ _Hermann_ kaj Karlo-Venkinto _Mauguin_. Ekzemplo de plena papertapeta nomo en _Hermann_-_Mauguin_ stilo estas _p31m_, kun kvar (leteroj, literoj, leteras, literas) aŭ (ciferoj, ciferas); pli kutima estas mallongigita nomo ŝati _cmm_ aŭ _pg_.

Por papertapetaj grupoj la plena skribmaniero (komenciĝoj, komenciĝas, komencas) kun ĉu p aŭ c, por primitiva ĉelo aŭ (vizaĝo, edro)-centris ĉelo; ĉi tiuj estas eksplikita pli sube. Ĉi tiu estas sekvita per cifero, n, indikanta la plej alta (mendi, ordo) de turna simetrio: 1Oblo (neniu), 2Oblo, 3Oblo, 4Oblo, aŭ 6Oblo. La venonta du (simboloj, simbolas) indiki simetrioj relativa al unu traduka akso de la ŝablono, referis al kiel la "ĉefa" unu; se estas spegulo (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al traduka akso ni elekti (tiu, ke, kiu) akso kiel la ĉefa unu (aŭ se estas du, unu de ilin). La (simboloj, simbolas) estas ĉu m, g, aŭ 1, por spegulo, glita reflekto, aŭ neniu. La akso de la spegulo aŭ glita reflekto estas (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la ĉefa akso por la unua (letero, litero), kaj ĉu paralelo aŭ apika 180°/n (kiam n > 2) por la (sekundo, dua) (letero, litero). Multaj (grupoj, grupas) inkluzivi aliaj simetrioj enhavita per la donitaj aĵoj. La mallonga skribmaniero gutas (ciferoj, ciferas) aŭ m (tiu, ke, kiu) povas esti (deduktita, konkludita), ĝisrevido kiel (tiu, ke, kiu) lasas ne konfuzo kun alia grupo.

Primitiva ĉelo estas minimuma regiono ripetis per krado (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias). Ĉiuj sed du papertapetaj simetriaj grupoj estas priskribita kun respekto al primitiva ĉelo (hakiloj, hakas), koordinata bazo uzanta la traduko (vektoroj, vektoras) de la krado. En la cetera du (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) simetria priskribo estas kun respekto al centris ĉeloj kiu estas pli granda ol la primitiva ĉelo, kaj de ĉi tie havi interne ripetado; la (direktoj, instrukcio) de iliaj flankoj estas malsama de tiuj de la traduko (vektoroj, vektoras) (naskanta, generanta) primitiva ĉelo. _Hermann_-_Mauguin_ skribmaniero por kristalaj spacaj grupoj uzas aldona ĉelo (klavas, tipoj).

(Ekzemploj, Ekzemplas)

• _p2_ (_p211_): Primitiva ĉelo, 2Obla turnada simetrio, ne (speguloj, spegulas) aŭ glitaj reflektoj.
• _p4g_ (_p4gm_): Primitiva ĉelo, 4Obla turnado, glita reflekto (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al ĉefa akso, spegula akso je 45°.
• _cmm_ (_c2mm_): Centris ĉelo, 2Obla turnado, spegulo (hakiloj, hakas) ambaŭ (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) kaj paralelo al ĉefa akso.
• _p31m_ (_p31m_): Primitiva ĉelo, 3Obla turnado, spegula akso je 60°.

Jen ĉiu (nomoj, nomas) (tiu, ke, kiu) diferenci unuvorte kaj plena skribmaniero.

Kristalografia mallonga kaj plena (nomoj, nomas)

Mallonga	_p2_	_pm_	_pg_	cm	_pmm_	_pmg_	_pgg_	_cmm_	_p4m_	_p4g_	_p6m_
Plena	_p211_	_p1m1_	_p1g1_	_c1m1_	_p2mm_	_p2mg_	_p2gg_	_c2mm_	_p4mm_	_p4gm_	_p6mm_

La cetera (nomoj, nomas) estas _p1_, _p3_, _p3m1_, _p31m_, _p4_, kaj _p6_.

[redaktu] _Conway_ skribmaniero

_Conway_'s _orbifold_ skribmaniero por papertapetaj grupoj, prezentis per Johano _Horton_ _Conway_ (_Conway_, 1992), estas bazita ne sur kristalografio, sed sur topologio. Ni faldi la malfinio perioda (kahelanta, kahelado) de la ebeno enen ĝia (medolo, esenco), _orbifold_, tiam priskribi (tiu, ke, kiu) kun kelkaj (simboloj, simbolas).

• Cifero, n, indikas centro de nObla turnado. Per la kristalografia limiga teoremo, n devas esti 2, 3, 4, aŭ 6.

• Asterisko, *, indikas spegulo. Ĝi _interacts_ kun la (ciferoj, ciferas) kiel sekvas:
  1. (Ciferoj, Ciferas) antaŭ * estas centroj de pura turnado (cikla).
  2. (Ciferoj, Ciferas) post * estas centroj de turnado kun (speguloj, spegulas) tra ilin (_dihedral_).

• Kruci, x, indikas glita reflekto. Pura (speguloj, spegulas) (kombini, komponi) kun krada traduko al produkti glitas, sed tiuj estas jam (kontis, kalkulita) por (do, tiel) ni ne _notate_ ilin.

• La "ne simetrio" simbolo, o, staras sola, kaj indikas ni havi nur krado (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) sen alia simetrio.

Konsideri la grupo signifis en kristalografia skribmaniero per _cmm_; en _Conway_'s skribmaniero, ĉi tiu estos esti 2*22. La 2 antaŭ la * diras ni havi 2Obla turnada centro sen spegulo tra ĝi. La * sin diras ni havi spegulo. La unua 2 post la * diras ni havi 2Obla turnada centro sur spegulo. La fina 2 diras ni havi sendependa (sekundo, dua) 2Obla turnada centro sur spegulo, unu kiu estas ne (duplikato, duplikati) de la unua unu sub simetrioj.

La grupo signifis per _pgg_ estos esti _22x_. Ni havi du pura 2Oblaj turnadaj centroj, kaj glita reflekta akso. Kontrasto ĉi tiu kun _pmg_, _Conway_ 22*, kie kristalografia skribmaniero mencias gliti, sed unu tio estas implica en la aliaj simetrioj de la _orbifold_.

_Conway_ kaj kristalografia rilato

_Conway_	o	_xx_	*x	**	632	*632
Kristalo.	_p1_	_pg_	cm	_pm_	_p6_	_p6m_
_Conway_	333	*333	3*3	442	*442	4*2
Kristalo.	_p3_	_p3m1_	_p31m_	_p4_	_p4m_	_p4g_
_Conway_	2222	_22x_	22*	*2222	2*22
Kristalo.	_p2_	_pgg_	_pmg_	_pmm_	_cmm_

[redaktu] Kial estas akurate dek sep (grupoj, grupas)

_Orbifold_ havas (vizaĝo, edro), randoj, kaj verticoj; tial ni povas vida ĝi kiel poligono. Kiam ni malfaldi ĝi, (tiu, ke, kiu) poligono (kaheloj, kahelas) la ebeno, kun ĉiu esprimilo _replicated_ malfinie per la ago de la papertapeta simetria grupo. Tial kiam _Conway_'s _orbifold_ skribmaniero mencias esprimilo, kiel la 4Obla turnada centro en 4*2, (tiu, ke, kiu) esprimilo malfaldas enen malfinia nombro de _replicas_ transa la ebeno. Kaŝanta en ĉi tiu priskribo estas ŝlosilo al la numerado.

Konsideri kubo, kun ĝiaj anguloj, randoj, kaj (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras). Ni grafo 8 anguloj, 12 randoj, kaj 6 (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras). Alterne adicianta kaj subtrahanta, ni (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) 8 − 12 + 6 = 2. Nun konsideri kvaredro. Ĝi havas 4 anguloj, 6 randoj, kaj 4 (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras); kaj ni (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) 4 − 6 + 4 = 2. Estu's esplori plui. Por universaleco, uzi la (termo, membro, flanko, termino) vertico anstataŭ angulo. Fendi (vizaĝo, edro) kun nova rando, kaŭzanta unu (vizaĝo, edro) al iĝi du. Nun ni havi 4 − 7 + 5 = 2. Venonta, fendi rando kun nova vertico, kaŭzanta la unu rando al iĝi du. Ni havi 5 − 8 + 5 = 2. Ĉi tiu estas ne _coincidence_; ĝi estas manifestacio de la surfaca Eŭlera karakterizo, χ = V − E + F, kaj la (komenco, komencanta) de pruvo de ĝia invarianto.

Kiam _orbifold_ _replicates_ per simetrio al enspaci la ebeno, ĝia (esprimiloj, esprimas) krei strukturo de verticoj, randoj, kaj poligono (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras) kiu devas esti konsekvenca kun la Eŭlera karakterizo. Dorsflankanta la procezo, ni povas asigni nombroj al la (esprimiloj, esprimas) de la _orbifold_, sed frakcioj, iom ol tutaj nombroj. Ĉar la _orbifold_ sin estas kvociento de la plena surfaco per la simetria grupo, la _orbifold_ Eŭlera karakterizo estas kvociento de la surfaca Eŭlera karakterizo per la (mendi, ordo) de la simetria grupo.

La _orbifold_ Eŭlera karakterizo estas 2 minus la (sumo, sumi) de la esprimilo (valoroj, valoras), asignita kiel sekvas:

• Cifero n antaŭ * (grafoj, grafas) kiel (n−1)/n.
• Cifero n post * (grafoj, grafas) kiel (n−1)/2n.
• Ambaŭ * kaj x grafo kiel 1.
• La "ne simetrio" o (grafoj, grafas) kiel 2.

Por papertapeta grupo, la (sumo, sumi) por la karakterizo devas esti nulo; tial la esprimilo (sumo, sumi) devas esti 2.

(Ekzemploj, Ekzemplas)

• 632: 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2
• 3*3: 2/3 + 1 + 1/3 = 2
• 4*2: 3/4 + 1 + 1/4 = 2
• _22x_: 1/2 + 1/2 + 1 = 2

Nun numerado de ĉiuj papertapetaj grupoj iĝas (materio, afero) de aritmetiko, de listante ĉiu esprimilo (surfadenigas, kordoj, kordas, ĉenoj, ĉenas, linioj, linias) kun (valoroj, valoras) sumanta al 2.

Epizode, esprimilo (surfadenigas, kordoj, kordas, ĉenoj, ĉenas, linioj, linias) kun alia (sumoj, sumas) estas ne (sensencaĵo, galimatio); ili enhavi ne-_planar_ (kaheladoj, kaheladas), ne diskutita ĉi tie. (Kiam la _orbifold_ Eŭlera karakterizo estas negativa, la (kahelanta, kahelado) estas hiperbola; kiam pozitiva, sfera.)

[redaktu] Gvidi al agnoskantaj papertapetaj grupoj

Al ellabori kiu papertapeta grupo korespondas al donita dizajno, unu (majo, povas) uzi jeno (baremo, tabelo, tablo).

Plej malgranda turnado	Havas reflekto?
Jes	Ne
360° / 6	_p6m_	_p6_
360° / 4	Havas (speguloj, spegulas) je 45°? Jes: _p4m_ Ne: _p4g_	_p4_
360° / 3	Havas putri. centro for (speguloj, spegulas)? Jes: _p31m_ Ne: _p3m1_	_p3_
360° / 2	Havas (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) (reflektoj, reflektas)? Jes Ne Havas putri. centro for (speguloj, spegulas)?     _pmg_     Jes: _cmm_ Ne: _pmm_	Havas glita reflekto? Jes: _pgg_ Ne: _p2_
neniu	Havas gliti akso for (speguloj, spegulas)? Jes: cm Ne: _pm_	Havas glita reflekto? Jes: _pg_ Ne: _p1_

Vidu ankaŭ jenon: .

[redaktu] Ŝlosilo al figuroj

Ĉiu grupo en jena listo havas du ĉelaj strukturaj figuroj, kiu estas interpretita kiel sekvas:

	rotacia centro de (mendi, ordo) du (180°).
	rotacia centro de (mendi, ordo) tri (120°).
	rotacia centro de (mendi, ordo) kvar (90°).
	rotacia centro de (mendi, ordo) ses (60°).
	akso de reflekto.
	akso de glita reflekto.

Dekstre-manaj flankaj figuroj, malsama (ekvivalento-klasoj, ekvivalentklasoj) de simetriaj eroj estas kolorigita (kaj turnis) malsame.

La bruna aŭ flava areo indikas fundamenta domajno, kio estas la (plej minuskla, plej malgranda) parto de la ŝablono kiu estas ripetita.

La figuroj dekstre montri la ĉelo de la krado (korespondanta, respektiva) al la (plej minuskla, plej malgranda) (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias); tiuj maldekstre iam montri pli granda areo.

[redaktu] Krado (klavas, tipoj)

Estas kvin krado (klavas, tipoj), (korespondanta, respektiva) al la kvin eblaj papertapetaj grupoj de la krada sin. La papertapeta grupo de ŝablono kun ĉi tiu krado de mova simetrio ne povas havi pli, sed (majo, povas) havi malpli simetrio ol la krada sin.

• En la 5 (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) de turna simetrio de (mendi, ordo) 3 aŭ 6, la ĉelo konsistas de du egallateraj trianguloj (sesangula krado, sin _p6m_).
• En la 3 (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) de turna simetrio de (mendi, ordo) 4, la ĉelo estas kvadrato (kvadrata krado, sin _p4m_).
• En la 5 (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) de reflekto aŭ glita reflekto, sed ne ambaŭ, la ĉelo estas ortangulo (rektangula krado, sin _pmm_), pro tio la figuroj montri ortangulo, sed speciala okazo estas (tiu, ke, kiu) ĝi reale estas kvadrato.
• En la 2 (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) de reflekto kombinita kun glita reflekto, la ĉelo estas (rombo, lozanĝo) (romba krado, sin _cmm_); speciala okazo estas (tiu, ke, kiu) ĝi reale estas kvadrato.
• Ĉe nur turna simetrio de (mendi, ordo) 2, kaj la (kesto, okazo) de ne alia simetrio ol traduka, la ĉelo estas en ĝenerala paralelogramo (_parallelogrammatic_ krado, sin _p2_), pro tio la figuroj montri paralelogramo, sed specialaj okazoj estas (tiu, ke, kiu) ĝi reale estas ortangulo, (rombo, lozanĝo), aŭ kvadrato.

[redaktu] Grupo _p1_

[redaktu] Grupo _p2_

[redaktu] Grupo _pm_

(La unua tri havi vertikala simetria akso, kaj la lasta du ĉiu havi malsama diagonalo unu.)

[redaktu] Grupo _pg_

Sen la (detaloj, detalas) ene la (zigzago, zigzagi) (bandoj, bandas) la mato estas _pmg_; kun la (detaloj, detalas) sed sen la distingo inter bruna kaj nigra ĝi estas _pgg_.

[redaktu] Grupo cm

• _Orbifold_ skribmaniero: *x.
• La grupo cm enhavas ne (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas). Ĝi havas reflekto (hakiloj, hakas), ĉiu paralelo. Estas almenaŭ unu glita reflekto kies akso estas ne reflekta akso; ĝi estas _halfway_ inter du najbara paralela reflekto (hakiloj, hakas).

Ĉi tiu (grupoj, grupas) aplikas por simetrie _staggered_ (linioj, vicoj, linias, vicas) (kio estas estas (ŝovi, ŝovo) por (linio, vico) de duono la traduka distanco ene la (linioj, vicoj, linias, vicas)) de identa (objektoj, objektas), kiu havi simetria akso (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la (linioj, vicoj, linias, vicas).

(Ekzemploj, Ekzemplas) de grupo cm

[redaktu] Grupo _pmm_

[redaktu] Grupo _pmg_

[redaktu] Grupo _pgg_

[redaktu] Grupo _cmm_

• _Orbifold_ skribmaniero: 2*22.
• La grupo _cmm_ havas (reflektoj, reflektas) en du (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) (direktoj, instrukcio), kaj turnado de (mendi, ordo) du (180°) kies centro estas ne sur reflekta akso. Ĝi ankaŭ havas du (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) kies centroj estas sur reflekta akso.
• Ĉi tiu grupo estas ofte vidita en ĉiutaga vivo, ekde la plej komuna ordigo de (brikoj, brikas) en brika konstruaĵo ekspluatas ĉi tiu grupo (vidi ekzemplo pli sube).

La turna simetrio de (mendi, ordo) 2 kun centroj de turnado je la centroj de la flankoj de la (rombo, lozanĝo) estas konsekvenco de la aliaj propraĵoj.

La ŝablono korespondas al ĉiu de jeno:

• simetrie _staggered_ (linioj, vicoj, linias, vicas) de identa duoble simetria (objektoj, objektas)
• _checkerboard_ ŝablono de du alterna rektangula (kaheloj, kahelas), kies ĉiu, per sin, estas duoble simetria
• _checkerboard_ ŝablono de alterne 2Oblo turne simetria rektangula kahelo kaj ĝia spegula bildo

(Ekzemploj, Ekzemplas) de grupo _cmm_

[redaktu] Grupo _p4_

[redaktu] Grupo _p4m_

(Ekzemploj, Ekzemplas) elmontrita kun la (plej minuskla, plej malgranda) (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) horizontalo kaj vertikala (ŝati en la figuro):

(Ekzemploj, Ekzemplas) elmontrita kun la (plej minuskla, plej malgranda) (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) diagonalo (ŝati sur _checkerboard_):

[redaktu] Grupo _p4g_

[redaktu] Grupo _p3_

• _Orbifold_ skribmaniero: 333.
• La grupo _p3_ havas tri malsamaj turnadaj centroj de (mendi, ordo) tri (120°), sed ne (reflektoj, reflektas) aŭ glitaj reflektoj.

Imagi _tessellation_ de la ebeno kun egallateraj trianguloj de egala amplekso, kun la flankoj (korespondanta, respektiva) al la (plej minuskla, plej malgranda) (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias). Tiam duono de la trianguloj estas en unu orientiĝo, kaj la alia duona supra parto suben. Ĉi tiu papertapeta grupo korespondas al la (kesto, okazo) (tiu, ke, kiu) ĉiuj trianguloj de la sama orientiĝo estas egala, dum ambaŭ (klavas, tipoj) havi turna simetrio de (mendi, ordo) tri, sed la du estas ne egala, ne unu la alian's spegula bildo, kaj ne ambaŭ simetria. Por donita bildo, tri de ĉi tiuj _tessellations_ estas ebla, ĉiu kun turnadaj centroj kiel verticoj, kio estas por (ĉiu, iu) _tessellation_ du (skipoj, ŝovas, ŝovoj) estas ebla. En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la bildo: la verticoj povas esti la (ruĝa, legita), la blua aŭ la verdaj trianguloj.

Ekvivalente, imagi _tessellation_ de la ebeno kun (sesanguloj, sesangulas, seslateroj, seslateras) de regula formo kaj egala amplekso, kun la flankoj (korespondanta, respektiva) al la (plej minuskla, plej malgranda) (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias). Tiam ĉi tiu papertapeta grupo korespondas al la (kesto, okazo) (tiu, ke, kiu) ĉiuj (sesanguloj, sesangulas, seslateroj, seslateras) estas egala (kaj en la sama orientiĝo) kaj havi turna simetrio de (mendi, ordo) tri, dum ili havi ne spegula bilda simetrio. Por donita bildo, naŭ de ĉi tiuj _tessellations_ estas ebla, ĉiu kun turnadaj centroj kiel verticoj. En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la bildo: la centroj povas esti ĉiu de tri (elektadoj, elektadas) de la (ruĝa, legita) trianguloj, aŭ de la blua aŭ la verda.

(Ekzemploj, Ekzemplas) de grupo _p3_

[redaktu] Grupo _p3m1_

[redaktu] Grupo _p31m_

[redaktu] Grupo _p6_

[redaktu] Grupo _p6m_

[redaktu] Simetriaj grupoj

La reala simetria grupo devus esti (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) de la papertapeta grupo. La lasta estas kategorio de simetriaj grupoj. Estas 17 de ĉi tiuj (kategorioj, kategorias), sed por ĉiu estas malfinie multaj simetriaj grupoj, en la (senso, senco) de reala (grupoj, grupas) de (izometrioj, izometrias). Ĉi tiuj dependi, krom la papertapeta grupo, sur nombro de (parametroj, parametras) por la traduko (vektoroj, vektoras) kaj la orientiĝo kaj pozicio de la reflekto (hakiloj, hakas) kaj turnadaj centroj.

La nombroj de (gradoj, gradas) de libereco estas:

• 6 por _p2_
• 5 por _pmm_, _pmg_, _pgg_, kaj _cmm_
• 4 cetere

Tamen, en ĉiu papertapeta grupo, ĉiuj simetriaj grupoj estas algebre izomorfia.

Iu simetria grupo (izomorfioj, izomorfias):

• _p1_: Z²
• _pm_: Z × D_∞
• _pmm_: D_∞ × D_∞

[redaktu] Dependeco de papertapetaj grupoj sur (transformoj, transformas)

• La papertapeta grupo de ŝablono estas invarianto sub (izometrioj, izometrias) kaj uniformo (krustanta, skalanta) (simileco (transformoj, transformas)).
• Mova simetrio estas konfitita sub ajna (dissurĵeta, bijekcia) afinaj transformoj.
• Turna simetrio de (mendi, ordo) du _ditto_; ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) ankaŭ (tiu, ke, kiu) 4- kaj 6Oblaj turnadaj centroj almenaŭ konservi 2Obla turna simetrio.
• Reflekto en linio kaj glita reflekto estas konfitita sur elvolvaĵo/kuntiro laŭ, aŭ (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al, la akso de reflekto kaj glita reflekto. Ĝi ŝanĝas _p6m_, _p4g_, kaj _p3m1_ enen _cmm_, _p3m1_ enen cm, kaj _p4m_, dependanta sur direkto de elvolvaĵo/kuntiro, enen _pmm_ aŭ _cmm_. Ŝablono de simetrie _staggered_ (linioj, vicoj, linias, vicas) de punktoj estas speciala en (tiu, ke, kiu) ĝi povas konverti per elvolvaĵo/kuntiro de _p6m_ al _p4m_.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) kiam transformo malgrandiĝas simetrio, transformo de la sama speco (la inverso) evidente por iuj ŝablonoj (multigas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas) la simetrio. Tia speciala propraĵo de ŝablono (e.g. elvolvaĵo en unu direkto produktas ŝablono kun 4Obla simetrio) estas ne grafita kiel (formo, formi) de superflua simetrio.

Ŝanĝi de (koloroj, koloras, kolorigas) ne afekti la papertapeta grupo se (ĉiu, iu) du punktoj (tiu, ke, kiu) havi la sama koloro antaŭ la ŝanĝi, ankaŭ havi la sama koloro post la ŝanĝi, kaj (ĉiu, iu) du punktoj (tiu, ke, kiu) havi malsama (koloroj, koloras, kolorigas) antaŭ la ŝanĝi, ankaŭ havi malsama (koloroj, koloras, kolorigas) post la ŝanĝi.

Se la antaŭa aplikas, sed ne la lasta, kiel kiam konvertanta kolora bildo al unu en nigra kaj blanka, tiam simetrioj estas konfitita, sed ili (majo, povas) (multigi, pligrandiĝo), tiel ke la papertapeta grupo povas ŝanĝi.

[redaktu] TTT _demo_ kaj programaro

Tie ekzisti kelka programaro prezentata klare (iloj, ilas) (tiu, ke, kiu) estos estu vi krei 2D ŝablonaj uzantaj papertapetaj simetriaj grupoj. Kutime, vi povas redakti la originala kahelo kaj ĝia (kopioj, kopias) en la tuta ŝablono estas ĝisdatigita aŭtomate.

• _Tess_, _nagware_ _tessellation_ programo por multaj (kajoj, kajas), (subtenoj, subtenas, apogas) ĉiu papertapeto, friso, kaj _rosette_ (grupoj, grupas), kaj ankaŭ _Heesch_ (kaheladoj, kaheladas).
• _Kali_, libera grafika simetria redaktilo havebla surlinia kaj por elŝuti.
• _Inkscape_, libera vektora bilda redaktilo, (subtenoj, subtenas, apogas) ĉiuj 17 (grupoj, grupas) plus ajna (krustoj, krustas, skaloj, skalas), (skipoj, ŝovas, ŝovoj), turnas, kaj koloro ŝanĝas por (linio, vico) aŭ por kolumno, elekteble hazardigis al donita grado.
• _SymmetryWorks_ estas komerca _plugin_ por Adobo _Illustrator_, (subtenoj, subtenas, apogas) ĉiuj 17 (grupoj, grupas).
• _Arabeske_ estas libera _standalone_ ilo, (subtenoj, subtenas, apogas) subaro de papertapetaj grupoj.

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

• Listo de _planar_ simetriaj grupoj (enkonduko de ĉi tiu paĝo)
• _Tessellation_
• Punkta grupo
• Kristalografio
• Frisa grupo
• Simetriaj grupoj en unu dimensio

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

• Artikolo "La Nekontinua (Grupoj, Grupas) de Turnado kaj Traduko en la Ebeno" per _Xah_ _Lee_
• Artikolo "La 17 ebenaj simetriaj grupoj" per Davido E. _Joyce_
• Enkonduko al Papertapetaj Ŝablonoj per _Chaim_ _Goodman_-_Strauss_ kaj Heidi _Burgiel_
• Priskribo per _Silvio_ _Levy_
• Ekzemplo (kahelanta, kahelado) por ĉiu grupo, kun dinamika _demos_ de propraĵoj
• Ĝenerala priskribo kun ekzemplo (kahelanta, kahelado) por ĉiu grupo

[redaktu] Referencoj

• La Gramatiko de Dekori (1856), per _Owen_ _Jones_. Multaj de la bildoj en ĉi tiu artikolo estas de ĉi tiu libro; ĝi enhavas multaj pli.
• J. H. _Conway_ (1992). "La _Orbifold_ Skribmaniero por Surfaco (Grupoj, Grupas)". En: Sinjoro W. _Liebeck_ kaj J. _Saxl_ (_eds_.), (Grupoj, Grupas), Kombinatoriko kaj Geometrio, Paperoj de la L.M.S. Durham (Anglio) Simpozio, 5-a de julio–15, Durham (Anglio), U.K., 1990; Londono Math. _Soc_. Prelego (Tononomoj, Notoj, Notas) Serio 165. Kembriĝo (Britio) Universitato Premi, Kembriĝo (Britio). _pp_. 438–447
• _Grünbaum_, _Branko_; _Shephard_, G. C. (1987): (Kaheladoj, Kaheladas) kaj Ŝablonoj. (Nov-Jorkio, Novjorko): _Freeman_. ISBN 0-7167-1193-1.