Vikipedio:Projekto matematiko/Numerebla aro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Numerebla aro
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, numerebla aro estas aro kun la sama kardinalo (kio estas, nombro de eroj) kiel iu subaro de la aro de naturaj nombroj. La (termo, membro, flanko, termino) estis devenita per Georg Cantor; ĝi (tigoj, tigas) de la fakto (tiu, ke, kiu) la naturaj nombroj estas ofte (nomita, vokis) (kalkulo, kalkulanta) nombroj. Ara tio estas ne numerebla estas (nomita, vokis) nekalkulebla.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) numerebla aro estas iam donita pli specifa difino: iam, ĝi estas difinita kiel aro kun la sama kardinalo kiel la aro de naturaj nombroj. La diferenco inter la du (difinoj, difinas) estas (tiu, ke, kiu) la antaŭa difinas finiaj aroj al esti numerebla, dum la lasta ne.

[redaktu] Difino

Aro S estas (nomita, vokis) numerebla se tie ekzistas (disĵeta, enjekcia) funkcio

$f\colon S \to \mathbb{N}$

Se f estas ankaŭ (dissurĵeta, bijekcia) tiam S estas (nomita, vokis) kalkuleble malfinio aŭ (nombrebla, numerebla, diskreta).

Kiel (tononomis, notita) pli supre, ĉi tiu terminologio estas ne universala: iu (aŭtoroj, aŭtoras) difini (nombrebla, numerebla, diskreta) al (meznombro, signifi) kio ni havi (nomita, vokis) "numerebla"; iu difini numerebla al (meznombro, signifi) kio ni havi (nomita, vokis) "kalkuleble malfinio".

La venonta rezulto (oferas, ofertas) alternativa difino de numerebla aro S en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de (surjekcia, surĵeta) funkcio:

_THEOREM_: Estu S esti nemalplena aro. Jeno (propozicioj, frazoj, ordonoj) estas ekvivalento:

S estas numerebla
Tie ekzistas (disĵeta, enjekcia) funkcio $f\colon S \to \mathbb{N}$
Tie ekzistas (surjekcia, surĵeta) funkcio $g\colon \mathbb{N} \to S$

[redaktu] Dolĉa enkonduko

La eroj de finia aro povas esti listita, diri { a₁, a₂, ..., a_n }. Tamen, _insofar_ kiel aro estas logika priskribo de la propraĵoj de ĝia (membroj, membras), ĝi (bezoni, bezono, necesa) ne esti finia. Al kompreni ĉi tiu, imagi (tiu, ke, kiu) Mi (demandi, peti) vi: kiom (vortoj, vortas) povas vi fari el Skrablo (pecoj, pecas) se vi estas permesita al (demandi, peti) mi por pli (pecoj, pecas) ne (materio, afero) kiom vi elĉerpita? La (respondo, respondi)? Kiel multaj kiel vi ŝati; vi povas iri eterne. Sed (tiu, ke, kiu) ne (meznombro, signifi) ili gajnita't ĉiu de ilin esti vorto farita el skrablo (baras, ŝtipoj, ŝtipas, kojnoj, kojnas, blokoj, blokas), iom ol pomo (tortoj, tortas) aŭ _racecars_. Tial malfinia aro estas ankoraŭ aro, _insofar_ kiel ĝi estas ilo por apartiganta ekster aĵoj kun malsamaj propraĵoj.

Nun kio estas kalkuleble malfinia aro?

Teknike, kalkuleble malfinia aro estas (ĉiu, iu) aro kiu, malgraŭ ĝia _boundlessness_, povas esti montrita ekvivalento al la naturaj nombroj — nenio pli, nenio malpli. Ĉi tiu (konstruas, faras) ĝi ebla al araj apartaj eroj de kalkuleble malfiniaj araj uzantaj naturaj nombroj kiel indeksoj, kaj laŭvice metas la logiko asociita kun ilin en tre fermi apudeco al la logiko asociita kun la natura nombra sin; kaj ĉi tiu (konstruas, faras) tiaj aroj facile logike akordiĝema.

[redaktu] A pli formala enkonduko

Ĝi povus tiam aspekti natura al dividi la aroj enen malsamaj klasoj: meti ĉiuj aroj enhavanta unu ero kune; ĉiuj aroj enhavanta du eroj kune; ...; fine, arigi ĉiuj malfiniaj aroj kaj konsideri ilin kiel havanta la sama amplekso. Ĉi tiu vido estas ne _tenable_, tamen, sub la natura difino de amplekso.

Al ellabori ĉi tiu ni (bezoni, bezono, necesa) la koncepto de reciproke unuvalora surĵeto. Fari la aroj { 1, 2, 3 } kaj { a, b, c } havi la sama amplekso?

"Evidente, jes."

"Kiel fari vi scii?"

"Bone ĝi's evidenta. (Aspekti, Aspekto, Rigardi), ili've ambaŭ prenita 3 eroj".

"(Tia, Kia) 3?"

Ĉi tiu (majo, povas) aspekti (fremda, stranga) situacio sed, kvankam "reciproke unuvalora surĵeto" aspektas pli plibonigita koncepto ol "nombro", la kutima evoluo de matematiko en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de aroteorio difinas funkcioj antaŭ nombroj, kiel ili estas bazita sur multa pli simplaj aroj. Ĉi tiu estas kie la koncepto de reciproke unuvalora surĵeto venas en: difini la rilato

a ↔ 1, b ↔ 2, c ↔ 3

Ekde ĉiu ero de { a, b, c } estas parita kun precize unu ero de { 1, 2, 3 } (kaj (malvirto, ŝraŭbtenilo) _versa_) ĉi tiu difinas reciproke unuvalora surĵeto.

Ni nun ĝeneraligi ĉi tiu situacio kaj difini du aroj al esti de la sama amplekso precize kiam estas reciproke unuvalora surĵeto inter ilin. Por ĉiuj finiaj aroj ĉi tiu donas ni la kutima difino de "la sama amplekso". Kio faras ĝi diri ni pri la amplekso de malfiniaj aroj?

Konsideri la aroj A = { 1, 2, 3, ... }, la aro de pozitiva (entjeroj, entjeras) kaj B = {2,4,6,...}, la aro de (ebena, para, eĉ) pozitiva (entjeroj, entjeras). Ni pretendi (tiu, ke, kiu), sub nia difino, ĉi tiuj aroj havi la sama amplekso, kaj (tiu, ke, kiu) pro tio B estas kalkuleble malfinio. Memori (tiu, ke, kiu) al pruvi ĉi tiu ni (bezoni, bezono, necesa) al eksponi reciproke unuvalora surĵeto inter ilin. Sed ĉi tiu estas facila: 1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8, ...

Kiel en la pli frua ekzemplo, ĉiu ero de A havas estas parita for kun precize unu ero de B, kaj (malvirto, ŝraŭbtenilo) _versa_. De ĉi tie ili havi la sama amplekso. Ĉi tiu donas ekzemplo de aro kiu estas de la sama amplekso kiel unu de ĝia pozitiva (subaroj, subaras), situacio kiu estas neebla por finiaj aroj.

Ankaŭ, la aro de ĉiuj (ordigitaj duopoj, duopoj, paroj) de naturaj nombroj estas kalkuleble malfinio, kiel povas vidiĝi per sekva vojo tiamaniere unu:

$\begin{matrix} (0,0) & \rightarrow & (0,1) & & (0,2) & \rightarrow & (0,3) & \\ & \swarrow & & \nearrow & & \swarrow & & \\ (1,0) & & (1,1) & & (1,2) & & \ddots & \\ \downarrow & \nearrow & & \swarrow & & & & \\ (2,0) & & (2,1) & & \ddots & & & \\ & \swarrow & & & & & & \\ (3,0) & & \ddots & & & & & \\ \downarrow & & & & & & & \\ \vdots & & & & & & & \end{matrix}$

La rezultanta surĵeto estas tiamaniere: 0 ↔ (0,0), 1 ↔ (0,1), 2 ↔ (1,0), 3 ↔ (2,0), 4 ↔ (1,1), 5 ↔ (0,2), … Ĝi estas evidenta (tiu, ke, kiu) ĉi tiu surĵeto estos kovri ĉiuj tia (ordigitaj duopoj, duopoj, paroj).

Interese: se vi (trakti, kuraci) ĉiu paro kiel estante la numeratoro kaj denominatoro de kvocienta frakcio, tiam por ĉiu ebla frakcio, ni povas veni supren kun klara nombro (korespondanta, respektiva) al ĝi. Ekde ĉiu natura nombro estas ankaŭ frakcio N/1, ni povas konkludi (tiu, ke, kiu) estas la sama nombro de frakcioj kiel estas de tutaj nombroj.

_THEOREM_: La Kartezia produto de finie multaj numereblaj aroj estas numerebla.

Ĉi tiu (formo, formi) de triangula surĵeto rekursie ĝeneraligas al (vektoroj, vektoras) de finie multaj naturaj nombroj per multfoje surĵeto la unua du eroj al natura nombro. Ekzemple, (2,0,3) (mapoj, mapas) al (5,3) kiu (mapoj, mapas) al 41.

Iam pli ol unu surĵeto estas utila. Ĉi tiu estas kie vi mapo la aro kiu vi bezono al montri kalkuleble malfinio, sur alia aro; kaj tiam mapo ĉi tiu alia aro al la naturaj nombroj. Ekzemple, la pozitivaj racionalaj nombroj povas facile esti mapita al (subaro de) la (paroj, paras) de naturaj nombroj ĉar p/q (mapoj, mapas) al (p, q).

Kio pri malfinio (subaroj, subaras) de kalkuleble malfiniaj aroj? Fari ĉi tiuj havi malpli eroj ol N?

_THEOREM_: Ĉiu subaro de numerebla aro estas numerebla. En aparta, ĉiu malfinia subaro de kalkuleble malfinia aro estas kalkuleble malfinio.

Ekzemple, la aro de primoj estas numerebla, per surĵeto la nOna primo al n:

2 (mapoj, mapas) al 1
3 (mapoj, mapas) al 2
5 (mapoj, mapas) al 3
7 (mapoj, mapas) al 4
11 (mapoj, mapas) al 5
13 (mapoj, mapas) al 6
17 (mapoj, mapas) al 7
19 (mapoj, mapas) al 8
23 (mapoj, mapas) al 9
kaj tiel plu

Kio pri aroj estante "pli granda ol" N? An evidenta loko al (aspekti, aspekto, rigardi) devus esti Q, la aro de ĉiuj racionalaj nombroj, kiu estas "klare" multa pli granda ol N. Sed (aspektas, aspektoj, rigardas) povas esti trompanta, por ni aserti

_THEOREM_: Q (la aro de ĉiuj racionalaj nombroj) estas numerebla.

Q povas esti difinita kiel la aro de ĉiuj frakcioj a/b kie a kaj b estas (entjeroj, entjeras) kaj b > 0. Ĉi tiu povas esti mapita sur la subaro de (mendita, ordita) (triopoj, triopas) de naturaj nombroj (a, b, c) tia (tiu, ke, kiu) b > 0, a kaj b estas _coprime_, kaj c ∈ {0, 1} tia (tiu, ke, kiu) c = 0 se a/b ≥ 0 kaj c = 1 alie.

0 (mapoj, mapas) al (0,1,0)
1 (mapoj, mapas) al (1,1,0)
−1 (mapoj, mapas) al (1,1,1)
1/2 (mapoj, mapas) al (1,2,0)
−1/2 (mapoj, mapas) al (1,2,1)
2 (mapoj, mapas) al (2,1,0)
−2 (mapoj, mapas) al (2,1,1)
1/3 (mapoj, mapas) al (1,3,0)
−1/3 (mapoj, mapas) al (1,3,1)
3 (mapoj, mapas) al (3,1,0)
−3 (mapoj, mapas) al (3,1,1)

1/4 (mapoj, mapas) al (1,4,0)
−1/4 (mapoj, mapas) al (1,4,1)
2/3 (mapoj, mapas) al (2,3,0)
−2/3 (mapoj, mapas) al (2,3,1)
3/2 (mapoj, mapas) al (3,2,0)
−3/2 (mapoj, mapas) al (3,2,1)
4 (mapoj, mapas) al (4,1,0)
−4 (mapoj, mapas) al (4,1,1)
...

Per simila evoluo, la aro de algebraj nombroj estas numerebla, kaj (do, tiel) estas la aro de difineblaj nombroj.

_THEOREM_: (Alprenanta la aksiomo de elekto) La unio de kalkuleble multaj numereblaj aroj estas numerebla.

Ekzemple, donitaj numereblaj aroj a, b, c ...

Uzanta varianto de la triangula numerado ni (vidita, segilo, segi) pli supre:

a₀ (mapoj, mapas) al 0

a₁ (mapoj, mapas) al 1
b₀ (mapoj, mapas) al 2

a₂ (mapoj, mapas) al 3
b₁ (mapoj, mapas) al 4
c₀ (mapoj, mapas) al 5

a₃ (mapoj, mapas) al 6
b₂ (mapoj, mapas) al 7
c₁ (mapoj, mapas) al 8
d₀ (mapoj, mapas) al 9

a₄ (mapoj, mapas) al 10
...

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu nur (laboroj, laboras) se la aroj a, b, c,... estas disa. Se ne, tiam la unio estas (ebena, para, eĉ) (pli minuskla, pli malgranda) kaj estas pro tio ankaŭ numerebla per antaŭa teoremo.

_THEOREM_: La aro de ĉiu finia-longo (vicoj, vicas) de naturaj nombroj estas numerebla.

Ĉi tiu aro estas la unio de la longo-1 (vicoj, vicas), la longo-2 (vicoj, vicas), la longo-3 (vicoj, vicas), ĉiu kies estas numerebla aro (finia Kartezia produto). (Do, Tiel) ni estas (konversacianta, preleganta) pri numerebla unio de numereblaj aroj, kiu estas numerebla per la antaŭa teoremo.

_THEOREM_: La aro de ĉiuj finia (subaroj, subaras) de la naturaj nombroj estas numerebla.

Se vi havi finia subaro, vi povas (mendi, ordo) la eroj enen (finia vico, finilonga vico). Estas nur kalkuleble multaj (finiaj vicoj, finilongaj vicoj), (do, tiel) ankaŭ estas nur kalkuleble multaj finia (subaroj, subaras).

[redaktu] Plui (teoremoj, teoremas) pri nekalkuleblaj aroj

La aro de reelaj nombroj estas nekalkulebla, kaj (do, tiel) estas la aro de ĉiuj (vicoj, vicas) de naturaj nombroj kaj la aro de ĉiuj subaroj de N (vidi Diagonala argumento de Cantor).

Memori nia ekzemplo de la skrablo (vortoj, vortas). Kvankam ni povas konservi (demandanta, petanta) por pli (leteroj, literoj, leteras, literas) de la sako, ĉiu vorto ni (formo, formi) estas finie longa. La nombro de ebla (vortoj, vortas) estas la sama kiel la nombro de naturaj nombroj. Se ni (konsenti, permesi) malfinie longa (vortoj, vortas), tiam la nombro de ebla "(vortoj, vortas)" estas pli granda ol ĉi tiu.

Fakte, kun malfinie longa (vortoj, vortas), la nombro de (vortoj, vortas) estas la sama kiel la nombro de reelaj nombroj.

Ni (tononomita, notita) pli frua (tiu, ke, kiu) estas ne pli frakcioj ol estas naturaj nombroj. La dekuma elvolvaĵo de frakcio estas ĉiam finie longa dekuma frakcio sekvis per ripetanta dekuma.

0.33333333333 ...
12.648986986986986986 ...
1.75

Estu's diri ni uzi nia dekuma punkto al ankaŭ indiki la starti de la _repeater_:

..3
12.648.986
1.75.

Tiam ni povas (ekspreso, esprimi) (ĉiu, iu) frakcio uzanta finie longa dekuma elvolvaĵo kun ripetanta malmulto. Ĝi's klara (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas la sama situacio kiel kun nia finie longa skrablo (vortoj, vortas), kaj (do, tiel) iam denove la nombro de eblaj frakcioj estas ne pli granda ol la nombro de naturaj nombroj.

[redaktu] _Mentionable_ kaj (interezanta, interesanta) nombroj

La aro de ĉiuj _mentionable_ nombroj estas numerebla, kie ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) rilato kun finia, kaj (ebena, para, eĉ) malfinio, (surfadenigas, kordoj, kordas, ĉenoj, ĉenas, linioj, linias) angle, aŭ (ĉiu, iu) alia lingvo.

Estas ne plej granda (interezanta, interesanta) entjero, kie ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) havanta (ĉiu, iu) rimarkinda propraĵo. Alpreni la kontraŭa. La venonta entjero devus esti la unua membro de la aro de _uninteresting_ nombroj, kaj devus pro tio esti (interezanta, interesanta).