Vikipedio:Projekto matematiko/Logiko de la unua ordo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Logiko de la unua ordo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Predikata kalkulo de la unua ordo aŭ logiko de la unua ordo (_FOL_) estas sistemo de matematika logiko, etendanta propona logiko (ekvivalente, _sentential_ logiko) kaj laŭvice etendis per (sekundo, dua)-(mendi, ordo) logiko.

La atomaj kondamnoj de predikato de la unua orda logiko havi la (formo, formi) $P(t_1,\ldots,t_n)$ (predikato kun unu aŭ pli "(subjektoj, subjektas)") iom ol estante propona (leteroj, literoj, leteras, literas) kiel en propona logiko. Ĉi tiu estas kutime skribita sen parantezoj aŭ (komoj, komas), kiel pli sube.

La nova ingredienco de logiko de la unua ordo ne fundamenti en propona logiko estas kvantoro: kie $φ$ estas (ĉiu, iu) kondamni, la novaj konstruoj $\forall x \phi$ kaj $\exists x\phi$ , legi "por ĉiuj x, $φ$ " kaj "por iu x, $φ$ ", estas prezentita. Por _convenience_ en eksplikanta nia (intencoj, deziroj, deziras), ni skribi $φ$ kiel $φ(x)$ kaj estu $φ(a)$ prezenti la rezulto de anstataŭiganta ĉiuj (libera) (aper(aĵ)oj, aper(aĵ)as) de x en $φ(x)$ kun a, tiam $\forall x\phi(x)$ (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) $φ(a)$ estas vera por (ĉiu, iu) valoro de a kaj $\exists x\phi$ (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) estas a tia (tiu, ke, kiu) $φ(a)$ estas vera. (Valoroj, Valoras) de la (variabloj, variablas) estas prenita de komprenita universo de (diskurso, traktato); bonmaniereco de logiko de la unua ordo permesas (variabloj, variablas) (limigante, limiganta) super malsama (specoj, specas, ordigoj, ordigas) de objekto.

En (sekundo, dua)-(mendi, ordo) logiko (kaj plui sistemoj de logiko de pli alta ordo), (kvantumiloj, kvantumas) super predikato (leteroj, literoj, leteras, literas) estas prezentita: ekzemple, egaleco povas esti difinita en (sekundo, dua)-(mendi, ordo) logiko per $x=y \equiv_{def}\forall P(P(x) \leftrightarrow P(y))$ . Kvantoro super (predikatoj, predikatas) estas ne (konsentita, permesita) en logiko de la unua ordo.

Logiko de la unua ordo havas sufiĉa esprima povo por la formaligo de virtuale ĉiuj de matematiko. Unua-(mendi, ordo) teorio konsistas de aro de (aksiomoj, aksiomas) (kutime finia aŭ rekursie numerigebla) kaj la (propozicioj, frazoj, ordonoj) _deducible_ de ilin. La kutima aroteorio _ZFC_ estas ekzemplo de unua-(mendi, ordo) teorio, kaj ĝi estas ĝenerale akceptita (tiu, ke, kiu) ĉiuj de klasika matematiko povas esti formaligita en _ZFC_. Estas alia (teorioj, teorias) (tiu, ke, kiu) estas kutime formaligita sendepende en logiko de la unua ordo (kvankam ili fari konsenti realigo en aroteorio) kiel Peana aritmetiko.

Enhavo

1 Difinanta logiko de la unua ordo
2 Vortoprovizo
3 Formaciaj reguloj
4 Egaleco
5 Konkludaj reguloj
6 Kvantumilo (aksiomoj, aksiomas)
7 La predikata kalkulo
8 _Metalogical_ (teoremoj, teoremas) de logiko de la unua ordo
9 Komparo kun alia (logikoj, logikas)
10 Vidu ankaŭ jenon:
11 Referencoj

[redaktu] Difinanta logiko de la unua ordo

Predikata kalkulo konsistas de

formaciaj reguloj (kio estas rekursiaj difinoj por (formante, formanta) bone-(formis, formularita, knedita) (formuloj, formulas)).
transformaj reguloj (kio estas konkludaj reguloj por derivanta (teoremoj, teoremas)).
(eble kalkuleble malfinio) aro de (aksiomoj, aksiomas) aŭ aksiomo _schemata_.

La (aksiomoj, aksiomas) (konsiderita, konsideris) jen la logika (aksiomoj, aksiomas) kiu estas parto de la predikata kalkulo. Plui, ne-logika (aksiomoj, aksiomas) estas adiciita en specifa unua-(mendi, ordo) (teorioj, teorias): ĉi tiuj estas ne estimita kiel (veroj, veras) de logiko sed kiel (veroj, veras) de la aparta teorio sub konsidero.

Kiam la aro de (aksiomoj, aksiomas) estas malfinio, ĝi estas postulita (tiu, ke, kiu) estas algoritmo kiu povas decidi por donita bone-(formis, formularita, knedita) formulo ĉu ĝi estas aksiomo ĉu ne. Plue, tie devus esti algoritmo kiu povas decidi ĉu donita apliko de konkluda regulo estas (ĝusta, ĝustigi, korekti) ĉu ne.

Ĝi estas grava al (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) la predikata kalkulo povas esti formaligita en multa ekvivalento (vojoj, vojas); estas nenio kanona pri la (aksiomoj, aksiomas) kaj reguloj de konkludo donita ĉi tie, sed (ĉiu, iu) formaligo estos cedi la sama (teoremoj, teoremas) de logiko (kaj (dedukti, konkludi) la sama (teoremoj, teoremas) de (ĉiu, iu) aro de ne-logika (aksiomoj, aksiomas)).

[redaktu] Vortoprovizo

La "vortoprovizo" estas (verkita, komponita) de

A aro de predikato (variabloj, variablas) (aŭ rilatoj) ĉiu kun iu _valence_ ≥1, kiu estas ofte signifita per majuskla (leteroj, literoj, leteras, literas) P, Q, R,...
A aro de (konstantoj, konstantas), ofte signifita per (minuskla, minuskligi) (leteroj, literoj, leteras, literas) a, b, c,... .
A aro de funkcioj, ĉiu de iu _valence_ ≥ 1, kiu estas ofte signifita per (minuskla, minuskligi) (leteroj, literoj, leteras, literas) f, g, h,... .
An malfinia aro de (variabloj, variablas), ofte signifita per (minuskla, minuskligi) (leteroj, literoj, leteras, literas) x, y, z,... .
(Simboloj, Simbolas) signifantaj logikaj operatoroj: ¬ (logika ne), $\wedge$ (logika kaj), $\vee$ (logika aŭ), → (logika kondiĉa), ↔ (logika _biconditional_).
(Simboloj, Simbolas) signifanta (kvantumiloj, kvantumas): $\forall$ (universala kvantoro), $\exists$ (ekzistokvantoro).
(Maldekstre, Restita) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) (parentezo, krampo).
An idento aŭ egaleca simbolo = estas iam sed ne ĉiam inkluzivis en la vortoprovizo.

Estas kelkaj minoraj variadoj listis pli sube:

Iu (simboloj, simbolas) (majo, povas) esti nefarita kiel primitivo kaj prenita kiel (mallongigoj, mallongigas) anstataŭe; e.g. (P ↔ Q) estas mallongigo por (P → Q) $\wedge$ (Q → P). La minimuma nombro de (operatoroj, operatoras) kaj (kvantumiloj, kvantumas) (bezonata, bezonis) estas tri (aŭ du se ni difini la operatoro nek aŭ _nand_); ekzemple, ¬, $\wedge$ , kaj $\forall$ sufiĉi.
Iu pli malnova (libroj, mendas) kaj (paperoj, paperas) uzi la skribmaniero φ⊃ψ por φ&_rarr_;ψ kaj xΠ(φ) por ∀x φ.
Egaleco estas iam (konsiderita, konsideris) al esti parto de unua (mendi, ordo) logiko; se ĝi estas tiam la egaleca simbolo estas inkluzivita. Ĉi tiu (kesto, okazo) estas iam (nomita, vokis) unua (mendi, ordo) logiko kun egaleco.
(Konstantoj, Konstantas) estas (reale, reele) la sama kiel funkcioj de _valence_ 0, (do, tiel) ĝi devus ebli al nefari (konstantoj, konstantas) kaj permesi funkcioj al havi (ĉiu, iu) _valence_. Sed ĝi estas tradicia kaj oportuna al uzi la (termo, membro, flanko, termino) "funkcio" nur por funkcioj de _valence_ almenaŭ 1.
En la difino pli supre rilatoj devas havi _valence_ almenaŭ 1. Ĝi estas ebla al permesi rilatoj de _valence_ 0; ĉi tiuj povis esti konsiderata kiel vervaloroj, kiel "vera" kaj "malvera". Ĉi tiu kutime (konstruas, faras) malgranda diferenco, ĉar ĝi estas kutime ebla al difini "vera" en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de alia (simboloj, simbolas), ekzemple kiel ∀x (x = x).
Estas multaj malsama (konvencioj, konvencias) pri kie al meti parantezoj; ekzemple, unu povus skribi ∀x aŭ (∀x). Iam unu uzas (kojloj, kojlas) aŭ punktoj anstataŭ parantezoj al fari (formuloj, formulas) unusenca. Unu (interezanta, interesanta) sed iom nekutima konvencio estas "Pola skribmaniero", kie unu nefaras ĉiuj parantezoj, kaj skribas ∧, ∨, kaj tiel plu (antaŭe, antaŭ) ilia (argumentoj, argumentas) iom ol inter ilin. Pola skribmaniero estas kompakta kaj eleganta, sed malofta ĉar ĝi estas peza por (homoj, homas) al legi ĝi.
A teknika observado (kies unu povas fari kio unu estos, filozofie) estas (tiu, ke, kiu) se estas funkcia simbolo de loknombro 2 (figuranta, prezentanta) ordigita duopo (aŭ predikato (simboloj, simbolas) de loknombro 2 (figuranta, prezentanta) la projekciaj rilatoj de ordigita duopo) tiam unu povas _dispense_ tute kun funkcioj aŭ (predikatoj, predikatas) de loknombro >2. Kompreneble la paro aŭ projekcioj (bezoni, bezono, necesa) al kontentigi la natura (aksiomoj, aksiomas).

La aroj de (konstantoj, konstantas), funkcioj, kaj rilatoj estas kutime (konsiderita, konsideris) al (formo, formi) lingvo, dum la (variabloj, variablas), logikaj operatoroj, kaj (kvantumiloj, kvantumas) estas kutime (konsiderita, konsideris) al aparteni la logiko. Ekzemple, la lingvo de grupa teorio konsistas de unu konstanto (la identa ero), unu funkcio de _valence_ 1 (la inverso) unu funkcio de _valence_ 2 (la (produkto, produto)), kaj unu rilato de _valence_ 2 (egaleco), kiu devus esti nefarita per (aŭtoroj, aŭtoras) kiu inkluzivi egaleco en la suba logiko.

[redaktu] Formaciaj reguloj

La formaciaj reguloj difini la (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas), (formuloj, formulas), kaj la libera (variabloj, variablas) en ilin kiel sekvas.

La aro de (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) estas rekursie difinita per jenaj reguloj:

(Ĉiu, Iu) konstanto estas (termo, membro, flanko, termino) (sen libera (variabloj, variablas)).
(Ĉiu, Iu) (variablo, varianta) estas (termo, membro, flanko, termino) (kies nur libera (variablo, varianta) estas sin).
(Ĉiu, Iu) esprimo f(t₁,...,t_n) de n≥1 (argumentoj, argumentas) (kie ĉiu argumento t_mi estas (termo, membro, flanko, termino) kaj f estas funkcia simbolo de _valence_ n) estas (termo, membro, flanko, termino). Ĝia libera (variabloj, variablas) estas la libera (variabloj, variablas) de (ĉiu, iu) de la (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) t_mi.
(Fermaĵo, Adheraĵo) propozicio: Nenio alia estas (termo, membro, flanko, termino).

La aro de bone-(formis, formularita, knedita) (formuloj, formulas) (kutime (nomita, vokis) _wff_s aŭ (justa, ĵus) (formuloj, formulas)) estas rekursie difinita per jenaj reguloj:

Simpla kaj komplekso (predikatoj, predikatas) Se P estas rilato de _valence_ n≥ 1 kaj la a_mi estas (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) tiam $P a 1,..., a n$ estas bone-(formita, formularita, knedita). Ĝia libera (variabloj, variablas) estas la libera (variabloj, variablas) de (ĉiu, iu) de la (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) a_mi. Se egaleco estas (konsiderita, konsideris) parto de logiko, tiam (a₁ = a₂) estas bone (formita, formularita, knedita). Ĉiuj tia (formuloj, formulas) estas dirita al esti atoma.
Indukta Propozicio Mi: Se φ estas _wff_, tiam ¬ φ estas _wff_. Ĝia libera (variabloj, variablas) estas la libera (variabloj, variablas) de φ.
Indukta Propozicio II: Se φ kaj ψ estas _wff_s, tiam $(\phi \wedge \psi)$ , $(\phi \vee \psi)$ , (φ → ψ), (φ ↔ ψ) estas _wff_s. Ĝia libera (variabloj, variablas) estas la libera (variabloj, variablas) de φ aŭ ψ.
Indukta Propozicio III: Se φ estas _wff_, tiam $\forall x \, \varphi$ kaj $\exists x \, \varphi$ estas _wff_s (kaj simile por (ĉiu, iu) alia (variablo, varianta) anstataŭ x). Ĝia libera (variabloj, variablas) estas la libera (variabloj, variablas) de φ aŭ ψ escepte x. ((Ĉiu, Iu) aper(aĵ)o de x (aŭ alia (variablo, varianta) anstataŭiganta x en ĉi tiu konstruado) estas dirita al esti baro — ne libera — en $\forall x \, \varphi$ kaj $\exists x \, \varphi$ .)
(Fermaĵo, Adheraĵo) Propozicio: Nenio alia estas _wff_.

En praktiko, se P estas rilato de _valence_ 2, ni ofte skribi "P b" anstataŭ "P b"; ekzemple, ni skribi 1<2 anstataŭ <1 2. Simile se f estas funkcio de _valence_ 2, ni iam skribi "f b" anstataŭ "f(b)"; ekzemple, ni skribi 1+2 anstataŭ +(1 2). Ĝi estas ankaŭ komuna al nefari iuj parantezoj se ĉi tiu ne (plumbo, konduki) al multvaloreco.

Anstataŭo: Se t estas (termo, membro, flanko, termino) kaj φ(x) estas formulo eble enhavanta x kiel libera (variablo, varianta), tiam φ(t) estas difinita al esti la rezulto de anstataŭiganta ĉiuj libera (aper(aĵ)oj, aper(aĵ)as) de x per t, se ne libera (variablo, varianta) de t iĝas baro en ĉi tiu procezo. Se iu libera (variablo, varianta) de t iĝas baro, tiam al (anstataŭa, anstataŭigi) t por x ĝi estas unua necesa al ŝanĝi la (nomoj, nomas) de baro (variabloj, variablas) de φ al io escepte la libera (variabloj, variablas) de t. Al vidi kial ĉi tiu kondiĉo estas necesa, konsideri la formulo φ(x) donita per ∀y y≤x ("x estas maksimuma"). Se t estas (termo, membro, flanko, termino) sen y kiel libera (variablo, varianta), tiam φ(t) (justa, ĵus) (meznombroj, meznombras, signifas) t estas maksimuma. Tamen se t estas y la formulo φ(y) estas ∀y y≤y kiu faras ne diri (tiu, ke, kiu) y estas maksimuma. La problemo estas (tiu, ke, kiu) la libera (variablo, varianta) y de t (=y) iĝis baro kiam ni anstataŭigita y por x en φ(x). (Do, Tiel) al (formo, formi) φ(y) ni devas unua ŝanĝi la baro (variablo, varianta) y de φ al alio, diri z, tiel ke φ(y) estas tiam ∀z z≤y. Forgesanta ĉi tiu kondiĉo estas _notorious_ kaŭzo de eraroj.

(Ekzemploj, Ekzemplas): La lingvo de (mendita, ordita) komutaj grupoj havas unu konstanto 0, unu unuloka funkcio −, unu duuma funkcio +, kaj unu duargumenta rilato ≤. (Do, Tiel)

0, x, y estas atoma (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas)
+(x, y), +(x +(y −(z))) estas (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas), kutime skribita kiel x + y, x + (y + −z)
+(x, y) = 0, ≤ +(x +(y −(z))) +(x, y) estas atoma (formuloj, formulas), kutime skribita kiel x + y = 0, x + y−z ≤ x + y,
(∀x ∃y ≤ +(x y) z ∧ ∃x +(x, y) = 0) estas formulo, kutime skribita kiel (∀x ∃y x + y ≤ z) ∧ (∃x x + y = 0).

[redaktu] Egaleco

Estas kelkaj malsama (konvencioj, konvencias) por uzanta egaleco (aŭ idento) en unua (mendi, ordo) logiko. Ĉi tiu sekcio resumas la ĉefaj aĵoj. La diversaj (konvencioj, konvencias) ĉiuj doni esence la samaj rezultoj kun pri la sama kvanto de laboro, kaj diferenci ĉefe en terminologio.

La plej komuna konvencio por egaleco estas al inkluzivi la egaleca simbolo kiel primitiva logika simbolo, kaj adicii la (aksiomoj, aksiomas) por egaleco al la (aksiomoj, aksiomas) por unua (mendi, ordo) logiko. La egaleco (aksiomoj, aksiomas) estas

x = x

x = y → f(...,x,...) = f(...,y,...) por (ĉiu, iu) funkcio f

x = y → (P(...,x,...) → P(...,y,...)) por (ĉiu, iu) rilato P

La venonta plej komuna konvencio estas al inkluzivi la egaleca simbolo kiel unu de la rilatoj de teorio, kaj adicii la egaleco (aksiomoj, aksiomas) al la (aksiomoj, aksiomas) de la teorio. En praktiko ĉi tiu estas preskaŭ nediferencigebla de la antaŭa konvencio, escepti en la nekutima (kesto, okazo) de (teorioj, teorias) sen nocio de egaleco. La (aksiomoj, aksiomas) estas la sama, kaj la nur diferenco estas ĉu unu (vokas, vokoj) iu de ilin logika (aksiomoj, aksiomas) aŭ (aksiomoj, aksiomas) de la teorio.
En (teorioj, teorias) sen funkcioj kaj finia nombro de rilatoj, ĝi estas ebla al difini egaleco en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la rilatoj, per difinanta la du (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) s kaj t al esti egala se (ĉiu, iu) rilato estas neŝanĝita per ŝanĝanta s al t en (ĉiu, iu) argumento. Ekzemple, en aroteorio kun unu rilato ∈, ni devus difini s=t al esti mallongigo por ∀x(s∈x ↔ t∈x) ∧ ∀x(x∈s ↔ x∈t). Ĉi tiu difino de egaleco tiam aŭtomate (verigas, kontentigas) la (aksiomoj, aksiomas) por egaleco.
En iu (teorioj, teorias) ĝi estas ebla al doni specialcela (difinoj, difinas) de egaleco. Ekzemple, en teorio de partaj ordoj kun unu rilato ≤ ni povita difini s=t al esti mallongigo por s≤t ∧ t≤s.
Ĝi estas ankaŭ iam utila al (diskuti, diskuto) "P(x) tenas por akurate unu x", kiu povas esti esprimita kiel:

	$\exists x \bullet (P(x) \land \forall y \bullet (P(y) \Rightarrow (x=y)))$
aŭ:	$\exists !x \bullet P(x)$

[redaktu] Konkludaj reguloj

La konkluda regula elimplikaciigo estas la nur unu postulita de propona logiko por la formaligo donita ĉi tie. Ĝiaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) se φ kaj φ&_rarr_;ψ estas ambaŭ (pruvita, pruvis), tiam unu povas (dedukti, konkludi) ψ.

La konkluda regulo (nomita, vokis) Universala Ĝeneraligo estas karakterizo de la predikata kalkulo. Ĝi povas esti komencita kiel

$\mathrm{if} \vdash \phi, \mathrm{then} \vdash \forall x \phi$

kie $φ$ estas supozita al stari por jam-pruvita teoremo de predikata kalkulo.

(Rimarki, Avizo) (tiu, ke, kiu) Ĝeneraligo estas analoga al la _Necessitation_ Regulo de modala logiko, kiu estas

$\mathrm{if} \vdash P, \mathrm{then} \vdash \Box P.$

[redaktu] Kvantumilo (aksiomoj, aksiomas)

Jeno kvar logika (aksiomoj, aksiomas) karakterizi predikata kalkulo:

_PRED_-1: $\forall x Z(x) \rightarrow Z(y)$
_PRED_-2: $Z(y) \rightarrow \exists x Z(x)$
_PRED_-3: $\forall x (W \rightarrow Z(x)) \rightarrow (W \rightarrow \forall x Z(x))$
_PRED_-4: $\forall x (Z(x) \rightarrow W) \rightarrow (\exists x Z(x) \rightarrow W)$

Ĉi tiuj estas reale aksiomo _schemata_: la esprimo W staras por (ĉiu, iu) _wff_ en kiu x estas ne libera, kaj la esprimo Z(x) staras por (ĉiu, iu) _wff_ kun la aldona konvencio (tiu, ke, kiu) Z(y) staras por la sama _wff_ kun y anstataŭiganta ĉiuj libera (aper(aĵ)oj, aper(aĵ)as) de x.

[redaktu] La predikata kalkulo

La predikata kalkulo estas vastigaĵo de la propona kalkulo (tiu, ke, kiu) difinas kiu (propozicioj, frazoj, ordonoj) de unua (mendi, ordo) logiko estas demonstrebla. Se la propona kalkulo estas difinita kun taŭgi aro de (aksiomoj, aksiomas) kaj la sola regulo de konkluda elimplikaciigo (ĉi tiu povas esti farita en multaj malsama (vojoj, vojas)), tiam la predikata kalkulo povas esti difinita per almuntanta iu aldona (aksiomoj, aksiomas) kaj la aldona konkluda regulo "universala ĝeneraligo". Pli detale, kiel (aksiomoj, aksiomas) por la predikata kalkulo ni preni:

Ĉiuj _tautologies_ de la propona kalkulo (kun la propozicio (variabloj, variablas) (anstataŭigita, anstataŭigis) per (formuloj, formulas)).
La (aksiomoj, aksiomas) por (kvantumiloj, kvantumas), donita pli supre.
La (aksiomoj, aksiomas) por egaleco donita pli supre, se egaleco estas estimita kiel logika koncepto.

Kondamni estas difinita al esti demonstrebla en unua (mendi, ordo) logiko se ĝi povas esti ricevita per startanta kun la (aksiomoj, aksiomas) de la predikata kalkulo kaj multfoje aplikanta la konkludaj reguloj "elimplikaciigo" kaj "universala ĝeneraligo".

Se ni havi teorio T (aro de (propozicioj, frazoj, ordonoj), (nomita, vokis) (aksiomoj, aksiomas), en iu lingvo) tiam kondamni φ estas difinita al esti demonstrebla en la teorio T se a∧b∧...→ φ estas demonstrebla en unua (mendi, ordo) logiko, por iu finia aro de (aksiomoj, aksiomas) a, b,... de la teorio T.

Unu (montrebla, videbla) problemo kun ĉi tiu difino de _provability_ estas (tiu, ke, kiu) ĝi aspektas iom specialcela: ni havi prenita iu (evidente, aparte, videble) hazarda kolekto de (aksiomoj, aksiomas) kaj reguloj de konkludo, kaj ĝi estas malproksime de klara (tiu, ke, kiu) ni havi ne _accidently_ bedaŭris ekster iu vitala aksiomo aŭ regulo. Pleneca teoremo de Gödel certigas ni (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas ne (reale, reele) problemo: la teoremaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) (propozicio, frazo, ordono) vera totale (modeloj, modelas) estas demonstrebla en unua (mendi, ordo) logiko. En aparta, (ĉiu, iu) modera difino de "demonstrebla" en unua (mendi, ordo) logiko devas esti ekvivalento al la unu pli supre (kvankam ĝi estas ebla por la (longoj, longas) de pruvoj al diferenci vaste por malsama (difinoj, difinas) de _provability_).

Estas multaj malsama (sed ekvivalento) (vojoj, vojas) al difini _provability_. La difino pli supre estas tipa ekzemplo de "Hilberta stilo" kalkulo, kiu havas multa malsama (aksiomoj, aksiomas) sed tre kelkaj reguloj de konkludo. La "_Gentzen_ stilo" predikata kalkulo diferencas en (tiu, ke, kiu) ĝi havas tre kelkaj (aksiomoj, aksiomas) sed multaj reguloj de konkludo.

[redaktu] _Metalogical_ (teoremoj, teoremas) de logiko de la unua ordo

Iu grava _metalogical_ (teoremoj, teoremas) estas listita pli sube en kuglis (formo, formi).

Malverŝajne la propona kalkulo, logiko de la unua ordo estas nedecidebla, se la lingvo havas almenaŭ unu predikato de _valence_ almenaŭ 2. Estas verŝajne ne decida proceduro por (determinanta, difinanta) por ajna formulo P, ĉu P estas valida (vidi Problemo de haltado). (Rezultoj venis sendepende de Preĝejo kaj Turing-a.)
La decida problemo por vereco estas _semidecidable_; en alia (vortoj, vortas), estas Maŝino de Turing (tiu, ke, kiu) kiam donita (ĉiu, iu) kondamni kiel (enigo, enigi), estos halti se kaj nur se la kondamni estas valida (vera totale (modeloj, modelas)). Kiel Pleneca teoremo de Gödel montras, por (ĉiu, iu) valida formulo P, P estas demonstrebla.
Unuloka predikata logiko (kio estas, predikata logiko kun nur (predikatoj, predikatas) de unu argumento) estas decidebla.

[redaktu] Komparo kun alia (logikoj, logikas)

Tipita unua (mendi, ordo) logiko permesas (variabloj, variablas) kaj (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) al havi diversaj (klavas, tipoj) (aŭ (specoj, specas, ordigoj, ordigas)). Se estas nur finia nombro de (klavas, tipoj), ĉi tiu ne (reale, reele) diferenci multa de unua (mendi, ordo) logiko, ĉar unu povas priskribi la (klavas, tipoj) kun finia nombro de unuloka (predikatoj, predikatas) kaj kelkaj (aksiomoj, aksiomas). Iam estas speciala tipo Ω de vervaloroj, en kiu (kesto, okazo) (formuloj, formulas) estas (justa, ĵus) (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de tipo Ω.
Malforta (sekundo, dua) (mendi, ordo) logiko permesas kvantoro super finia (subaroj, subaras).
Unuloka (sekundo, dua) (mendi, ordo) logiko permesas kvantoro super (subaroj, subaras), aŭ en alia (vortoj, vortas) super unuloka (predikatoj, predikatas).
(Sekundo, Dua) (mendi, ordo) logiko permesas kvantoro super (subaroj, subaras) kaj rilatoj, aŭ en alia (vortoj, vortas) super ĉiuj (predikatoj, predikatas).
pli alta (mendi, ordo) (logikoj, logikas) permesas kvantoro super pli ĝeneralaj aĵoj, kiel rilatoj inter rilatoj.
Instituteca unua (mendi, ordo) logiko uzas instituteca iom ol klasika propona kalkulo; ekzemple, ¬≠φ (bezoni, bezono, necesa) ne esti ekvivalento al φ.
Modala logiko havas superflua modalaj operatoroj kun neformala (intencoj, signifoj, signifas) kiel "ĝi estas necesa (tiu, ke, kiu) φ" kaj "ĝi estas ebla (tiu, ke, kiu) φ".
_Infinitary_ logiko permesas malfinie longa kondamnas. Ekzemple, unu (majo, povas) permesi konjugo aŭ (kajaŭo, disjunkcio) de malfinie multaj (formuloj, formulas), aŭ kvantoro super malfinie multaj (variabloj, variablas).
Unua (mendi, ordo) logiko kun superflua (kvantumiloj, kvantumas) havas nova (kvantumiloj, kvantumas) _Qx_,..., kun (intencoj, signifoj, signifas) kiel "estas multaj x tia (tiu, ke, kiu) ...".

La plejparto de ĉi tiuj (logikoj, logikas) estas iusence (vastigaĵoj, vastigaĵas) de unua (mendi, ordo) logiko: ili inkluzivi ĉiu (kvantumiloj, kvantumas) kaj logikaj operatoroj de unua (mendi, ordo) logiko kun la sama (intencoj, signifoj, signifas). _Lindstrom_ montris unua (mendi, ordo) logiko havas ne (vastigaĵoj, vastigaĵas) (escepte sin) (tiu, ke, kiu) kontentigi ambaŭ la kompakteca teoremo kaj la _downward_ _Lowenheim_-_Skolem_ teoremo. Preciza (propozicio, frazo, ordono) de ĉi tiu teoremo postulas listante kelkaj paĝoj de teknikaj kondiĉoj (tiu, ke, kiu) la logiko estas alprenita al kontentigi; ekzemple, ŝanĝanta la (simboloj, simbolas) de lingvo devus fari ne esenca diferenco al kiu kondamnas estas vera.

Ekzotika ekvivalento estas la akurata ekvivalento inter unua (mendi, ordo) logiko kun ordigita duopa konstruado kaj natura sistemo de rilata algebro kun la projekcioj de ordigita duopo kiel specialaj rilatoj, esploris per Tarski-a kaj _Givant_.

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

Teoremoj de nekompleteco
Pleneca teoremo de Gödel
Listo de reguloj de konkludo
Matematika logiko
Listo de unua-(mendi, ordo) (teorioj, teorias)

[redaktu] Referencoj

Davida Hilberto kaj _Wilhelm_ _Ackermann_ (1928). _Grundzüge_ _der_ _theoretischen_ Logiko (Principoj de teoria logiko). _Springer_-_Verlag_, ISBN 0-8218-2024-9.
Artikolo sur klasika logiko per _Stewart_ _Shapiro_ je la _Stanford_ Enciklopedio de Filozofio, kiu kovras la difino, modela teorio kaj soneco kaj plenecaj rezultoj por logiko de la unua ordo priskribita en natura konkluda stilo.
Enkonduko al matematika logiko per _Karl_ _Podnieks_.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Logiko_de_la_unua_ordo_811e.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Modela teorio | Matematika logiko | Diskreta matematiko