Vikipedio:Projekto matematiko/Konverĝ(o)radiuso

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Konverĝ(o)radiuso
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la konverĝ(o)radiuso de potencoserio

$f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n,$

kie la centro a kaj la koeficientoj c_n estas kompleksaj nombroj (kiu (majo, povas), en aparta, esti reelaj nombroj) estas la nenegativa kvanto r (kiu (majo, povas) esti reela nombro aŭ ∞) tia (tiu, ke, kiu) la serio konverĝas se

$\left|z-a\right|<r$

kaj (diverĝas, malkonverĝas) se

$\left|z-a\right|>r.$

En alia (vortoj, vortas), la serio konverĝas se z estas fermi sufiĉa al la centro. La konverĝ(o)radiuso precizigas kiel fermi estas fermi sufiĉa. La konverĝ(o)radiuso estas malfinio se la serio konverĝas por ĉiuj kompleksaj nombroj z.

Enhavo

1 Ekzisto kaj valoro de la konverĝ(o)radiuso
2 Klareco kaj simpleca rezulto de komplekseco
- 2.1 A simpla varma-supren ekzemplo
- 2.2 A _gaudier_ ekzemplo

[redaktu] Ekzisto kaj valoro de la konverĝ(o)radiuso

La konverĝ(o)radiuso povas troviĝi per aplikanta la radika provo al la (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la serio. Se

$C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|c_n|}$

(kie "lim sup" signifas la limigo supera), tiam la konverĝ(o)radiuso estas 1/C. Se C = 0, tiam la konverĝ(o)radiuso estas malfinio, signifo (tiu, ke, kiu) f estas tuta funkcio.

En multaj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), la rilatuma provo sufiĉas. Se la limigo

$L = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|$

ekzistas, tiam la konverĝ(o)radiuso estas 1/L. Ĉi tiu limigo estas ofte pli simpla al komputi ol la limigo por C pli supre. Tamen, ĝi (majo, povas) ne ekzisti, en kiu (kesto, okazo) unu havas al uzi la formulo por C anstataŭe.

[redaktu] Klareco kaj simpleca rezulto de komplekseco

Unu de la plej bona (ekzemploj, ekzemplas) de klareco kaj simpleco sekva de (opinianta, pensanta) pri komplekso nombroj kie konfuzo devus rezulto de (opinianta, pensanta) pri (reala, reela) nombroj estas ĉi tiu teoremo de kompleksa analitiko:

La konverĝ(o)radiuso estas ĉiam egala al la distanco de la centro al la plej proksima punkto kie la funkcio f havas (ne-forprenebla) specialaĵo; se ne tia punkto ekzistas tiam la konverĝ(o)radiuso estas malfinio.

La plej proksima punkto (meznombroj, meznombras, signifas) la plej proksima punkto en la kompleksa ebeno, ne bezone sur la reela linio, eĉ se la centro kaj ĉiuj koeficientoj estas (reala, reela). Vidi holomorfaj funkcioj estas analitikaj; la rezulto komencita pli supre estas per-(produkto, produto) de la pruvo fundamenti en (tiu, ke, kiu) artikolo.

[redaktu] A simpla varma-supren ekzemplo

La tangentarka funkcio de trigonometrio povas esti elvolvita en potencoserio familiara al kalkulaj studentoj:

$\arctan(z)=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots .$

Ĝi estas facila al apliki la rilatuma provo en ĉi tiu (kesto, okazo) al trovi (tiu, ke, kiu) la konverĝ(o)radiuso estas 1. Sed ni povas ankaŭ vido la (materio, afero) tial:

$\frac{d}{dz}\arctan(z)=\frac{1}{1+z^2}$

kaj nulo (aperas, ŝajnas, aspektas) en la denominatoro kiam z² = − 1, kio estas, kiam z = mi aŭ − mi. La centro en ĉi tiu potencoserio estas je 0. La distanco de 0 al ĉu de ĉi tiuj du (kuriozecoj, specialaĵoj, specialaĵas) estas 1. Tio estas pro tio la konverĝ(o)radiuso.

(Ĉi tiu fama ekzemplo ankaŭ (tuj, senpere) donas ni maniero por kalkulanta la valoro de $π$ . Ĝi estas (interezanta, interesanta) apliko de Abela teoremo. En vido de Gottfried Wilhelm Leibniz' provo (priskribis en la (termo, koeficiento, elemento) alterna serio) la serio

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots .$

konverĝas. (Do, Tiel) Abela teoremo diras ni (tiu, ke, kiu) la (sumo, sumi) de ĉi tiu serio devas egala

$\lim_{z\uparrow 1} \arctan(z)=\frac{\pi}{4}$ .

En vido de Gottfried Wilhelm Leibniz' teoremo ni povas ankaŭ facile difini kiom (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de ĉi tiu serio ni (bezoni, bezono, necesa) al uzi al trovi $π$ al en (ĉiu, iu) postulis akurateco. Por malmulte malsama ekspliko de ĉi tiu kalkulo vidi la (termo, koeficiento, elemento) Leibniz-a formulo por pi.)

[redaktu] A _gaudier_ ekzemplo

Konsideri ĉi tiu potencoserio:

$\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty B_n z^n$

kie la koeficientoj B_n estas la Nombro de Bernoullas. Ĝi (majo, povas) esti _cumbersome_ al provi al apliki la rilatuma provo al trovi la konverĝ(o)radiuso de ĉi tiu serio. Sed la teoremo de kompleksa analitiko komencita pli supre rapide solvas la problemo. Je z = 0, estas en efiki ne specialaĵo ekde la specialaĵo estas forprenebla. La nur ne-forpreneblaj kuriozecoj estas pro tio situita kie la denominatoro estas nulo. Ni solvi

e z - 1 = 0

per memoranta (tiu, ke, kiu) se z = x + _iy_ kaj e^_iy_ = cos(y) + mi (peko, peki)(y) tiam

e z = e x e i y = e x (cos(y) + i sin(y)),

kaj tiam preni x kaj y al esti (reala, reela). Ekde y estas (reala, reela), la absoluta valoro de cos(y) + mi (peko, peki)(y) estas bezone 1. Pro tio, la absoluta valoro de e^z povas esti 1 nur se e^x estas 1; ekde x estas (reala, reela), (tiu, ke, kiu) okazas nur se x = 0. Pro tio ni (bezoni, bezono, necesa) cos(y) + mi (peko, peki)(y) = 1. Ekde y estas (reala, reela), (tiu, ke, kiu) okazas nur se cos(y) = 1 kaj (peko, peki)(y) = 0, tiel ke y estas integralo multaj de 2π. Ekde la reela parto x estas 0 kaj la imaginara parto y estas nenula integralo multaj de 2π, la solvaĵo de nia ekvacio estas

z = nenula integralo multaj de 2πmi.

La specialaĵo plej proksima la centro (la centro estas 0 en ĉi tiu (kesto, okazo)) estas je 2πmi aŭ − 2πmi. La distanco de la centro al ĉu de tiuj punktoj estas 2π. Tio estas pro tio la konverĝ(o)radiuso.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Konver%C4%9D%28o%29radiuso_fd04.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Kalkulo | Kompleksa analitiko | Matematika serio