Vikipedio:Projekto matematiko/Diverĝenca teoremo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Diverĝenca teoremo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En vektora kalkulo, la diverĝenca teoremo, ankaŭ sciata kiel Gaŭso' teoremo, _Ostrogradsky_'s teoremo, aŭ _Ostrogradsky_–Gaŭsa teoremo estas rezulto (tiu, ke, kiu) (rilatas, rakontas) la eksteren (flui, fluo) de vektora kampo sur surfaco al la konduto de la vektora kampo ene la surfaco.

Pli detale, la diverĝencaj teoremaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) la _flux_ de vektora kampo sur surfaco estas egala al la triopa integralo de la diverĝenco sur la regiono ene la surfaco. Intuicie, ĝiaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) la (sumo, sumi) de ĉiuj (fontoj, fontas) minus la (sumo, sumi) de ĉiuj profundiĝas donas la reta fluo el regiono.

La diverĝenca teoremo estas grava rezulto por la matematiko de fiziko, en aparta en elektrostatiko kaj fluidaĵ-Dinamiko.

Enhavo

1 Intuicio
2 Matematika (propozicio, frazo, ordono)
3 Ekzemplo
4 Aplikoj
- 4.1 Elektrostatiko
- 4.2 Gravito
5 Historio

[redaktu] Intuicio

La intuicia enhavo estas simpla. Se fluaĵo estas fluanta en iu areo, kaj ni deziri al scii multa fluaĵo (fluas, fluoj) el certa regiono en (tiu, ke, kiu) areo, tiam ni (bezoni, bezono, necesa) al adicii la (fontoj, fontas) ene la regiono kaj subtrahi la profundiĝas. La akvo (flui, fluo) estas (prezentita, prezentis) per vektora kampo, kaj la vektora kampa diverĝenco je donita punkto priskribas la forteco de la fonto aŭ profundiĝi tie. (Do, Tiel), integralanta la (kampa, orbita, korpa) diverĝenco super la eno de la regiono devus egala la integralo de la vektora kampo super la regiona rando. La diverĝenca teoremo diras (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas vera.

La diverĝenca teoremo estas tial konservadaj leĝaj kiuj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) la volumeno tuteca de ĉiuj profundiĝas kaj (fontoj, fontas), (la volumena integralo de la diverĝenco), estas egala al la reta fluo transa la (volumena, voluma) rando.

[redaktu] Matematika (propozicio, frazo, ordono)

Supozi V estas subaro de Rⁿ ((opinii, pensi) de la (kesto, okazo) n=3) kiu estas kompakta kaj havas popeca glata rando. Se F estas kontinue diferencialebla vektora kampo difinis sur najbaraĵo de V, tiam ni havi

$\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},$

kie ∂V estas la rando de V orientis per eksteren-(poentanta, akraĵanta, kulminanta, punktanta) (ortantoj, ortantas), kaj dS estas stenografio por NdS, la eksteren (poentanta, akraĵanta, kulminanta, punktanta) normala de la rando ∂V.

La diverĝenca teoremo estas ofte aplikita en ĉi tiu sekva (rikordaj kazoj, variantoj, variantas):

$\iiint\limits_V\mathbf{F}\cdot \left(\nabla g\right) + g \left(\nabla\cdot \mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}g \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$

(ĉi tiu estas la bazo por Verdaj identoj, se $\mathbf{F}=\nabla f$ ),

$\iiint\limits_V \nabla g dV=\iint\limits_{\part V} g d\mathbf{S},$

$\iiint\limits_V \mathbf{G}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{F}\right) - \mathbf{F}\cdot \left( \nabla\times\mathbf{G}\right) dV = \iint\limits_{\part V}\left(\mathbf{F}\times\mathbf{G}\right)\cdot d\mathbf{S},$

$\iiint\limits_V \nabla\times\mathbf{F} dV = \iint\limits_{\part V}d\mathbf{S} \times\mathbf{F}.$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la diverĝenca teoremo estas speciala okazo de la pli ĝenerala Hejtas teoremo kiu ĝeneraligas la fundamenta teoremo de kalkulo.

[redaktu] Ekzemplo

Supozi ni deziri al (komputi, pritaksi) $\iint\limits_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$ , kie S estas la unuobla sfero difinis per $x 2 + y 2 + z 2 = 1$ kaj F estas la vektora kampo $\mathbf{F} = 2 x\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}$ . La direkta kalkulado de ĉi tiu integralo estas sufiĉe malfacila, sed povas esti (simpligita, plisimpligita) uzanta la diverĝenca teoremo:

$\iint\limits_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} dS=\iiint\limits_W\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=2\iiint\limits_W\left(1+y+z\right)dV$

$= 2\iiint\limits_W dV + 2\iiint\limits_W y dV + 2\iiint\limits_W z dV$

Per simetrio,

$\iiint\limits_W y dV = \iiint\limits_W z dV = 0$

Pro tio,

$2\iiint\limits_W\left(1+y+z\right)dV = 2\iiint\limits_W dV = \frac{8\pi}{3}$

ĉar la unuobla sfero W havas volumeno _4π_/3.

[redaktu] Aplikoj

[redaktu] Elektrostatiko

Aplikita al _electrostatic_ kampo ni preni Gaŭsa leĝo: la diverĝenco estas konstanto (tempoj, tempas) la volumeno akuz(aĵ)a denseco.

[redaktu] Gravito

Aplikita al gravita kampo ni preni (tiu, ke, kiu) la surfaca integralo estas -4πG (tempoj, tempas) la (maso, amaso) ene, sendistinge de kiel la (maso, amaso) estas distribuita, kaj sendistinge de (ĉiu, iu) (masoj, amasoj) ekster.

[redaktu] Sfere simetria (maso, amaso) distribuo

Ĉe sfere simetria (maso, amaso) distribuo ni povas konkludi de ĉi tiu (tiu, ke, kiu) la kampa forteco je distanco r de la centro estas _inward_ kun grandeco de G/r² (tempoj, tempas) la tuteca (maso, amaso) je (pli minuskla, pli malgranda) distanco, sendistinge de (ĉiu, iu) (masoj, amasoj) je pli granda distanco.

Ekzemple, kaldrona sfero ne produkti (ĉiu, iu) gravito ene. La gravita kampo ene estas la sama kvazaŭ la kaldrona sfero estis ne tie (kio estas la kampo estas (tiu, ke, kiu) de (ĉiu, iu) (masoj, amasoj) ene kaj ekster la sfero nur).

Vidi ankaŭ la shela teoremo.

[redaktu] Cilindre simetria (maso, amaso) distribuo

Ĉe malfinio cilindre simetria (maso, amaso) distribuo ni povas konkludi (tiu, ke, kiu) la kampa forteco je distanco r de la centro estas _inward_ kun grandeco de _2G_/r (tempoj, tempas) la tuteca (maso, amaso) por unua longo je (pli minuskla, pli malgranda) distanco, sendistinge de (ĉiu, iu) (masoj, amasoj) je pli granda distanco.

Ekzemple, malfinia kaldrona cilindro ne produkti (ĉiu, iu) gravito ene.

[redaktu] _Bouguer_ telero

Ni povas konkludi (tiu, ke, kiu) por malfinio, (plata, apartamento) telero (_Bouguer_ telero) de dikeco H gravito ekster la telero estas (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la telero, al ĝi, kun grandeco 2πG (tempoj, tempas) la (maso, amaso) por unua areo, sendependa de la distanco al la telero (vidi ankaŭ gravito (anomalioj, anomalias)).

Pli ĝenerale, por (maso, amaso) distribuo kun la denseco dependanta sur unu Kartezia koordinato z nur, gravito por (ĉiu, iu) z estas 2πG (tempoj, tempas) la diferenco en (maso, amaso) por unua areo sur ĉu flanko de ĉi tiu z valoro.

En aparta, kombinaĵo de du egala paralela malfinio (teleroj, teleras) ne produkti (ĉiu, iu) gravito ene.

[redaktu] Historio

La teoremo estis unua esplorita per Joseph-Louis de Lagrange en 1762, tiam poste sendepende _rediscovered_ per Carl Friedrich Gauss en 1813, per Georgo Verda en 1825 kaj en 1831 per _Mikhail_ _Vasilievich_ _Ostrogradsky_, kiu ankaŭ donis la unua pruvo de la teoremo. Sinsekve, variadoj sur la Diverĝenca teoremo estas (nomita, vokis) Gaŭsa Teoremo, Verda teoremo, kaj _Ostrogradsky_'s teoremo.

Ĉi tiu artikolo estis originale bazita sur la _GFDL_ artikolo de _PlanetMath_ je http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Diver%C4%9Denca_teoremo_9170.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Vektora kalkulo | Matematikaj teoremoj