Vikipedio:Projekto matematiko/Aro de Mandelbrot

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Aro de Mandelbrot
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Bildiganta de la Aro de Mandelbrot: nigraj punktoj prezenti la stabilaj punktoj sub la ripeta mapo

En matematiko, la Aro de Mandelbrot estas fraktala tio estas difinita kiel la aro de punktoj c en la kompleksa ebeno por kiu la ripete difinis vico

$z_0 = 0\,$

$z_{n+1} = {z_n}^2 + c$

faras ne flegi malfinio.

La vico estas tial elvolvis matematike kiel sekvas por ĉiu punkto c en la kompleksa ebeno:

$c=x+iy \,$

$z_0=0 \,$

$\begin{matrix}z_1&=&z_0^2+c \\ \ &=& x+iy\end{matrix} \,$

Malsukcesis analizi formulon (Nekonata eraro): \begin{matrix}z_2&=&z_1^2+c \\ \ &=&(x + iy)^2+x+iy \\ \ &=&x^2+2ixy-y^2+x+iy \\ \ &=&x^2-y^2+x+(2xy+y)i\end{matrix} \,

$z_3=z_2^2+c=\dots \,$

kaj tiel plu.

La vico zn+1= zn2+c por 5 malsama (valoroj, valoras) de c. En ĉiu vico, zn punktoj (en flava) estas koneksa al zn-1 kaj zn+1 punktoj per linio (en (ruĝa, legita))

La vico z_n+1= z_n²+c por 5 malsama (valoroj, valoras) de c. En ĉiu vico, z_n punktoj (en flava) estas koneksa al z_n-1 kaj z_n+1 punktoj per linio (en (ruĝa, legita))

Se ni _reformulate_ ĉi tiu en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la (reala, reela) kaj imaginaraj partoj (x kaj y (koordinatoj, koordinatas) de la kompleksa ebeno), (aspektanta, rigardanta) je ĉiu ripeto n, anstataŭiganta:

z_n kun la punkto x_n plus y_n (tempoj, tempas) mi. $(z n : = x n + y n i)$
c kun la punkto a plus b (tempoj, tempas) mi. $(c : = a + b i)$

tiam ni preni

$x_{n+1} = {x_n}^2 - {y_n}^2 + a \,$

kaj

$y_{n+1} = 2{x_n} {y_n} + b \,$

La Aro de Mandelbrot povas esti (dividita, dividis) enen malfinia aro de nigra (ciferoj, ciferas, geometriaj figuroj, figuroj, figuras): la plej granda (cifero, figuro) en la centro estas kardioido. Estas (numerebla) malfinio de proksima-cirkloj (la nur unu al esti reale akurata cirklo estante la plej granda, (tuj, senpere) maldekstre de la kardioido) kiu estas en direkto (_tangential_) (kontakti, kontakto) kun la kardioido, sed ili varii en amplekso, strebanta asimptote al nula diametro. Tiam ĉiu de ĉi tiuj cirkloj havas laŭvice ĝia posedi (numerebla) malfinia aro de (pli minuskla, pli malgranda) cirkla kiu branĉo ekster de ĝi, kaj ĉi tiu aro de ĉirkaŭbarantaj cirkloj ankaŭ strebas asimptote en amplekso al nulo. La (branĉanta, alanta, forkiĝanta) ekster procezo povas ripetiĝi nedefinite, produktanta fraktalo. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiuj branĉantaj procezoj ne _exhaust_ la Aro de Mandelbrot: plui supren en la (ĉiroj, ĉiras), iu nova (kardioidoj, kardioidas) aperi, ne gluita al suba nivelo "cirkloj". La plej granda de ĉi tiuj, kaj la plej facile videbla de vido de la tuta aro, estas laŭ la "alkoholigi" kiu sekvas la negativa (reala, reela) akso ekster, malglate de (reala, reela) (valoroj, valoras) de -1.78 al -1.75.

Ene la Aro de Mandelbrot estas _replicas_ de la ara anonco _infinitum_!

Kiam la Aro de Mandelbrot estas esplorita uzanta (kreskante, pligrandiĝante) pli alta (rezolucioj, rezolucias), _replicas_ de la aro povas troviĝi anonco _infinitum_ - karakterizo de fraktalo (objektoj, objektas).

Enhavo

1 Historio
2 Interrilato kun Juliinaj aroj
3 Matematiko
4 Perioda (cikloj, ciklas) en la Aro de Mandelbrot
5 Grafike prezentanta la aro
6 (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)
7 Aro de Mandelbrot en (kantoj, kantas)
8 Vidi ankaŭ
9 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Historio

La Aro de Mandelbrot estis unua difinis en 1905 per _Pierre_ _Fatou_, Franca matematikisto laborante en la kampo de kompleksa analitika dinamiko. _Fatou_ studita rekursie procezoj ŝati

$z \mapsto z^2 + c\,$

Startanta kun iu punkto $z 0$ sur la kompleksa ebeno, sukcesaj punktoj (majo, povas) esti generita per multfoje aplikanta ĉi tiu formulo. La vico de punktoj tial ricevis estas (nomita, vokis) la orbito de $z 0$ sub la transformo

$z \mapsto z^2 + c\,$

_Fatou_ komprenita (tiu, ke, kiu) la orbito de $z 0 = 0$ sub ĉi tiu transformo devus provizi iu _insight_ enen la konduto de tiaj sistemoj. Estas malfinia nombro de tiaj funkcioj - unu por ĉiu valoro de c. _Fatou_ farita ne havi atingo al komputilo pova grafike prezentanta la (orbitoj, orbitas) de ĉiuj ĉi tiuj funkcioj, sed provis al fari (do, tiel) permane. Li (pruvita, pruvis) (tiu, ke, kiu) iam punkto movis al distanco pli granda ol 2 de la fonto, tiam la orbito devus eskapi al malfinio.

_Fatou_ neniam (vidita, segilo, segi) la bildo de kio ni nun (voko, voki) la Aro de Mandelbrot kiel ni fari ĉar la nombro de kalkuloj postulis al generi ĉi tiu estas malproksime pli ol povis esti kalkulita permane. Profesoro _Benoît_ Mandelbrot-a estis la unua persono al uzi komputilo al grafika prezento la aro.

(Fraktaloj, Fraktalas) estita vulgarigita per Mandelbrot-a en 1975 en lia libro '. En ĉi tiu libro, Mandelbrot-a uzita la (termo, membro, flanko, termino) fraktalo al priskribi nombro de matematikaj fenomenoj (tiu, ke, kiu) aspektis al eksponi kaosa aŭ surprizanta konduto. Ĉiuj de ĉi tiuj fenomenoj koncernata la difino de iu kurbo aŭ aro tra la uzi de iuj rekursiaj funkcioj aŭ (algoritmoj, algoritmas). La Aro de Mandelbrot estas unu tia fenomena tio estas nomita post ĝia _discoverer_.

[redaktu] Interrilato kun Juliinaj aroj

"enigita Juliina aro"

La Aro de Mandelbrot estis kreita per _Benoît_ Mandelbrot-a kiel indekso al la Juliinaj aroj: ĉiu punkto en la kompleksa ebeno korespondas al malsama Juliina aro. La punktoj en la Aro de Mandelbrot korespondi precize al la koneksaj Juliinaj aroj, kaj la punktoj ekster esti konforma laŭ malkonektitaj aĵoj.

Intuicie, la "(interezanta, interesanta)" Juliinaj aroj esti konforma laŭ punktoj proksima la rando de la Aro de Mandelbrot; tiuj malproksime ene flegi esti simplaj geometriaj formoj, dum tiuj bone ekster aspekti polvo ĉirkaŭbaris per _blobs_ de koloro. Iuj programoj, kiel _Fractint_, estu la uzanto elekti punkto, kaj salti al la (korespondanta, respektiva) Juliina aro, farante ĝi facila al trovi Juliinaj aroj (tiu, ke, kiu) la uzanto estas verŝajna al ĝui.

La Aro de Mandelbrot ankaŭ enhavas (strukturoj, strukturas) (tiu, ke, kiu) forte simili Juliinaj aroj; ja, por (ĉiu, iu) valoro c, la regiono de la Aro de Mandelbrot proksima c similas la centro de la Juliina aro kun parametro c.

[redaktu] Matematiko

_Douady_ kaj _Hubbard_ havi montrita (tiu, ke, kiu) la komplemento de la Aro de Mandelbrot en la Rimana sfero estas konforme izomorfia al la (malfermi, malfermita) unuobla disko, kiu (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) la Aro de Mandelbrot estas koneksa, kaj ĉiu ciklo estas _contractible_ al punkto. La Aro de Mandelbrot estas ankaŭ konjektis sed _unproven_ al esti vojo koneksa kaj loke koneksa.

La Dimensio de Hausdorff de la rando de la Aro de Mandelbrot egalas 2 per rezulto de _Shishikura_, pro tia ĝi kvalif(ik)as kiel fraktalo sub Mandelbrot-a's difino. La Aro de Mandelbrot estas kompakta, kaj tial mezurebla; ĝia areo estis taksita kiel 1.5065918 per R. _Munafo_ [1]. Akurata formulo ekzistas por la areo de la Aro de Mandelbrot, sed ĝi konverĝas (do, tiel) malfrue (tiu, ke, kiu) pli ol 10¹⁰⁰⁰ (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) estas (bezonata, bezonis) al difini (justa, ĵus) la unua tri (ciferoj, ciferas).

En la _Blum_-_Shub_-_Smale_ modelo de reala kalkulado, la Aro de Mandelbrot estas ne komputebla, sed ĝia komplemento estas _computably_ numerigebla. Tamen, multaj simpla (objektoj, objektas) (e.g., la (grafikaĵo, grafeo) de potencigo) estas ankaŭ ne komputebla en la Afiŝeja modelo. Nun ĝi estas nekonato ĉu la Aro de Mandelbrot estas komputebla en (modeloj, modelas) de reala kalkulado bazita sur komputebla analitiko, kiu korespondi pli proksime al la intuicia nocio de "grafike prezentanta la aro per komputilo". _Hertling_ havas montrita (tiu, ke, kiu) la Aro de Mandelbrot estas komputebla en ĉi tiu modelo, se la (do, tiel)-(nomita, vokis) _hyperbolicity_ konjekto estas vera. (_Douady_ kaj _Hubbard_ (pruvita, pruvis) pli frua (tiu, ke, kiu) la _hyperbolicity_ konjekto estas enhavita per loka konekteco de la Aro de Mandelbrot.)

[redaktu] Perioda (cikloj, ciklas) en la Aro de Mandelbrot

Perioda (cikloj, ciklas) en la Aro de Mandelbrot

Ene la Aro de Mandelbrot, la ripeto de vico z_n+1= z_n²+c evolui en malsama (vojoj, vojas) por malsama (valoroj, valoras) de c. Por (valoroj, valoras) de c ene la granda kardioido, la (ripetoj, ripetas) konverĝi al punkto. Por c ene la granda (bulbo, ampolo) maldekstren de la kardioido, la (ripetoj, ripetas) konverĝi al ciklo de (periodo, punkto) 2. Por alia (bulboj, bulbas, ampoloj, ampolas), la (ripetoj, ripetas) konverĝi al ciklo de malsama (periodo, punkto) n, laŭ la nombroj montrita en jeno (cifero, figuro).

(Periodo, Punkto) (valoroj, valoras) por la (bulboj, bulbas, ampoloj, ampolas)

(Rimarki, Avizo) (tiu, ke, kiu) en la (bulbo, ampolo) meze de (bulbo, ampolo) kun n=2 kaj la (bulbo, ampolo) kun n=3, la (periodo, punkto) de la ciklo estas n=2+3=5;en la (bulbo, ampolo) meze de la (bulbo, ampolo) kun n=2 kaj la (bulbo, ampolo) kun n=5, la (periodo, punkto) de la ciklo estas n=2+5=7; en la (bulbo, ampolo) meze de la (bulbo, ampolo) kun n=2 kaj la (bulbo, ampolo) kun n=7, la (periodo, punkto) de la ciklo estas n=2+7=9. Fakte, estas tiom (da) (bulboj, bulbas, ampoloj, ampolas) kiel la reelaj nombroj inter 2 kaj 3 en (tiu, ke, kiu) kvadranto de la ĉefa (bulbo, ampolo)!

[redaktu] Grafike prezentanta la aro

Specimena generita bildo kun koloranta donita per la kurzo de diverĝenco al malfinio, la pli hela la punktoj la pli malfrua la diverĝenco

_Buddhabrot_ maniero

Ankoraŭ bildo de sur 0.001643721971153 + 0._822467633298876i_

Porcio de la Aro de Mandelbrot centrita je (0.282, -0.01)

Ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu) iam la absoluta valoro de z_n estas pli granda ol 2 (en kartezia (formo, formi), kiam x_n² + y_n² > 2²) la vico estos flegi malfinio, kaj c estas pro tio ekster la Aro de Mandelbrot. Ĉi tiu valoro, sciata kiel la (kaŭcio, kaŭcii)-ekster valoro, permesas la kalkulo al esti finita por punktoj ekster la Aro de Mandelbrot. Por punktoj ene la Aro de Mandelbrot, kio estas (valoroj, valoras) de c por kiu z_n ne flegi malfinio, la kalkulo neniam venas al tia fino, (do, tiel) ĝi devas esti finita post iu nombro de (ripetoj, ripetas) difinita per la programo. Ĉi tiuj rezultoj en la elmontris bildo estante nur proksimuma kalkulado al la vera aro. Mandelbrot-a _hobbyists_ rapide lerni al agnoski la "_blobby_" bildoj kaŭzis per programo erare (lokanta, metanta) punktoj en la aro, kaj estos tiam supren la ripeta grafo (je la elspezo de _slowing_ suben la kalkulo de ĉiu punkto reale en la aro).

[redaktu] Adicianta koloro

Matematike parolanta, la (bildoj, bildas) de la Aro de Mandelbrot kaj Juliinaj aroj estas "nigra kaj blanka". Ĉu punkto estas en la aro aŭ ĝi estas ne. Plej komputilo-generita (grafikaĵoj, grafeoj) estas desegnita en koloro. Sub la plej komuna bildiganta maniero, por la punktoj (tiu, ke, kiu) (diverĝi, malkonverĝi) al malfinio, kaj estas pro tio ne en la aro, la koloro reflektas la nombro de (ripetoj, ripetas) ĝi prenas al atingi certa distanco de la fonto. Ĉi tiu kreas samcentra (formoj, formas), ĉiu pli bona proksimuma kalkulado al la Aro de Mandelbrot ol la lasta. Unu ebla projekto estas (tiu, ke, kiu) punktoj (tiu, ke, kiu) (diverĝi, malkonverĝi) rapide estas desegnita en nigra; tiam vi havi pli hela (koloroj, koloras, kolorigas) por la mezo; tiam vi havi blanka por la punktoj en la aro, kaj proksima-blanka por la punktoj (tiu, ke, kiu) (diverĝi, malkonverĝi) tre malfrue.

Por ke difini se la punkto, c, estas iranta al furori la Aro de Mandelbrot (tradicie koloris nigra) aŭ ekster la aro (koloris laŭ la eskapi rapido), la distanco de la z_n devas esti kalkulita je ĉiu ripeto en la vico:

Se $z_n = x + iy \$ , tiam $\|z_n\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . (Tononomo, Noto, Noti) tiu de la multaj ebla (optimigoj, optimigas) por kalkulanta _mandelbrots_ povas esti aplikita ĉi tie. Iom ol (testante, testado) al vidi se $\sqrt{x^2 + y^2} > 2$ , ni povas simple provo al vidi se $x^2 + y^2 > 4 \$ —tial (konservanta, savanta) la kvadrata radika operacio.

(Do, Tiel), se $\|z_n\|^2 < 4$ tiam koloro la punkto nigra, alie kolora ĝi laŭ la valoro de n. Uzanta la nombro de (ripetoj, ripetas) postulita al difini (tiu, ke, kiu) la punkto havas eskapita estas la plej facila kaj plej komuna vojo de skribanta la "rapido" de eskapi. Ĉi tiu nombro povas esti rekte mapita al koloro tra serĉo (baremo, tabelo, tablo) aŭ paledo, aŭ per uzi de iu taŭgi algoritmo.

(Do, Tiel) malproksime, ni havi laborita ekster kiel al diri se la punkto estas ekster la aro—ĝi movas pli ol distanco de 2 for de la fonto. Kiel fari ni diri ĝi estas ene la aro? Estas parceloj de (strategioj, strategias) por ĉi tiu—ĉi tiu estas ne (do, tiel) simpla. Se ĝi estis, tie devus ne esti tiom (da) malsama (algoritmoj, algoritmas) ekster tie por kalkulanta _mandelbrots_. Ĉi tiu estas la (medolo, esenco) de la problemo. Klare plej punktoj estos ne reale preni al nulo en modera nombro de (ripetoj, ripetas). La plej simpla algoritmo estas al simple limigo la nombro de (ripetoj, ripetas) kaj se vi havi ne _gone_ ekster la rando per la tempo vi havi farita via lasta ripeto, tiam vi alpreni la punkto estas en la aro.

Ja, punktoj pli proksima la aro preni pli longa al eskapi. Ĉi tiu estas kial grafike prezentanta _slows_ suben proksima la malhela regiono—ĉar pli (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) en la elvolvaĵo estas havanta al esti kalkulita al difini la eskapi rapido. Kiam ne proksima la aro, unu povas "preni for kun" suba maksimuma ripeta grafo. La bildoj pli sube, de la sama loko, estas kreita kun ripetaj limigoj de 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 kaj 1000000, respektive. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) estas malkreskanta redonas en _upping_ la ripeta grafa pasinta punkto; ĉi tiuj estas ankaŭ bona (ekzemploj, ekzemplas) de la "_blobby_" bildoj unu prenas kun ankaŭ-malalta ripeta grafo. Ĉi tiuj bildoj estas centrita je -1.7490110509, -0.0004525. La bildo estas malglate 0.000417 de unuo larĝa, kaj situita pri _halfway_ suben la "valo" je la +x fino de la plej granda _mini_-aro.

[redaktu] Koda ekzemplo

_Pseudocode_ por grafike prezentanta Aro de Mandelbrot. (Tononomo, Noto, Noti) la rapida optimigo (tiu, ke, kiu) x² kaj y² estas nur kalkulis iam por ripeto. Kaj (tiu, ke, kiu) "y = 2*x*y + _y0_" estas kalkulita antaŭ "x = _x2_ - _y2_ + _x0_" ekde alie la nova x devus devi esti butikita en nedaŭra (variablo, varianta) antaŭ y estas kalkulita.

<antaŭ> Por ĉiu rastrumero sur la (ekrano, ŝirmi) fari: {

x = _x0_ = x kunordigi de rastrumero
y = _y0_ = y kunordigi de rastrumero

_x2_ = x*x
_y2_ = y*y

ripeto = 0
_maxiteration_ = 1000

dum ( _x2_ + _y2_ < (2*2) KAJ ripeto < _maxiteration_ ) {

y = 2*x*y + _y0_
x = _x2_ - _y2_ + _x0_

_x2_ = x*x
_y2_ = y*y

ripeto = ripeto + 1
}

se ( ripeto == _maxiteration_ )
koloro = nigra
alia
koloro = ripeto

Grafika prezento la rastrumero kun "koloro".

} </antaŭ>

[redaktu] Optimumigo

Unidirekta al plibonigi kalkuloj estas al ekscii _beforehand_ ĉu la donita punkto (mensogoj, mensogas, kuŝas) en la kardioido aŭ en la granda cirklo maldekstren de ĝi. La kardioido estas karakterizita per periodeco = 1; ĉi tiu permesas ĝia formo al esti difinita. La granda cirklo, kiu havas periodeco = 2, povas ankaŭ esti difinita per rudimentaj manieroj.

La kardioida polusa ekvacio (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster al esti

$\rho_c = {1 \over 2} - {1 \over 2} \cos \theta$

sed kun la centro de polusaj koordinatoj situita je (1/4,0)—la kardioida _cusp_—anstataŭ je la fonto. Donita punkto (x,y), kalkuli

$\rho = \sqrt{\left( x - {1 \over 4} \right)^2 + y^2}$

Se $x \le \rho -2 \rho ^2 + {1 \over 4}$ tiam punkto (x,y) estas en la kardioido (kolora ĝi nigra), kaj la kutimaj kalkuloj povas esti _skipped_; ĉi tiu povas esti facile (pruvita, pruvis) de la formulo por $ρ c$ . Ĝi estas ankaŭ facila al kontroli se punkto estas en la granda cirklo maldekstren de la kardioido; ĝia centro estas je $x = - 1$ kaj ĝia radiuso estas ${1 \over 4}$ .

Al (malebligi, kontraŭagi) havanta al fari gigantaj nombroj de (ripetoj, ripetas) por aliaj punktoj en la aro, unu povas fari "periodeco kontrolanta"—kiu (meznombroj, meznombras, signifas) kontroli se punkto atingis en ripetanta rastrumero havas estas atingita antaŭ. Se (do, tiel), la rastrumero ne povas (diverĝi, malkonverĝi), kaj devas furori la aro.

[redaktu] Arto kaj la Aro de Mandelbrot

Iu popolo havi (ŝatokupo, hobio, amataĵo) de serĉanta la Aro de Mandelbrot por (interezanta, interesanta) (bildoj, bildas) kaj uzantaj ilin en fraktala arto. Ili havi kolekto de (bildoj, bildas), laŭ kun la (koordinatoj, koordinatas) por generante (tiu, ke, kiu) bildo.

Plui (ekzemploj, ekzemplas) pli sube estas (regionoj, regionas), dekstren estas min-kardioido, koneksa per _filaments_ (ankaŭ maldika al vidiĝi) al la ĉefa aro (kaj alia (kardioidoj, kardioidas), iu kies estas reale en ĉi tiu bildo sed ankaŭ malgranda al vidiĝi).:

Estas multaj libera fraktalo-generante programoj havebla, kiel tiuj per _Stephen_ _Ferguson_ (Sterlinga fraktalo kaj la _Tierazon_ serio) kaj multa popolo skribi tia programa sin por la plej alta nivelo de regi super ilia (bildoj, bildas). Ekde la aro (malverŝajne naturo) havas _unlimited_ detalo, ĝi (aperas, ŝajnas, aspektas) malpli brui kiam kalkulis sur monpuna krado kaj suben-specimenis kun kontraŭ-kromnomado. Jen du koloro _codings_ de la sama kalkulo kaj du bildoj farita per (kombinanta, komponanta) du kalkuloj por ĉiu bildo. <(baremo, tabelo, tablo) align='center'> </(baremo, tabelo, tablo)> Sekva la (maldekstre, restis) de unu valo kaj la (ĝusta, dekstra, rajto) de alia malmendas ekster la plejparto de la spiralanta fundamenti sur la flankoj de (valoj, valas). En jeno tri bildoj, la distanca proksimumilo havas estas kutima helpi en kontraŭ-kromnomado per eliminanta _unrepresentative_ specimenoj. En la lasta tri, ĉi tiuj (rastrumeroj, rastrumeras) estita (anstataŭigita, anstataŭigis) per sangellaso en ilia (najbaroj, najbaras). "Profunda Rao Tordis" havas estas (procesita, procezita, apofizita) al plimultigi la randoj, simile al iu en la antaŭa (linio, vico). <(baremo, tabelo, tablo) align='center'> </(baremo, tabelo, tablo)> La ĉefa arta defii estas (tiu, ke, kiu) simpla matematika (formoj, formas) estas (alezanta, boranta, tedanta), ŝati klasika Greka argilaĵo (sen la pentrado), aŭ ŝati klasika muziko (sonoj, sonas, sondas, klarionas) al ĵaza fervorulo sen klasika (trejnado, trajnanta, obeiganta, vagonaranta, baskanta, trejnanta, dresanta). Al fari ĝi pli ŝati klasika Ĉinia argilaĵo, aŭ ŝati la voja klasika muziko (sonoj, sonas, sondas, klarionas) al klasika fervorulo aŭ ĵazo al ĵaza fervorulo, tie (bezonas, bezonoj) al esti pli granda (diversaj, diversaĵo) de (formoj, formas). Ĉi tiu estas (efektivigita, atingita) per prenante diversa vojo dum zomanta en, proksima punkto, suben montfendo, (ĝusta, dekstra, rajto) kaj maldekstraj flankoj de (valoj, valas), kaj tiel plu, kaj per (pikanta, prenanta) densa (areoj, areas) kie la plejparto de la (rastrumeroj, rastrumeras) estas miksas de la (koloroj, koloras, kolorigas) de malsama loĝi (valoroj, valoras). La malfacilaĵo estas (tiu, ke, kiu) pli profunda loĝas, monpuna detalo, kaj grandaj kalkuloj al esti suben (katizita, dimensiita, ampleksita), ĉiuj (multigi, pligrandiĝo) la komputila tempo, (do, tiel) kio unu povas fari sen paralela aritmetiko estas (limigita, limigis). Ankaŭ, oleo (pentradoj, pentradas) flegi esti ĉirkaŭ (nombrilo, metro, pli renkontita) kvadrato, aŭ pli granda, (do, tiel) komputila arto devus (reale, reele) uzi multaj _megapixels_.

[redaktu] (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)

Kiam popolo paroli de la Aro de Mandelbrot, ili kutime estas referanta al la aro priskribis pli supre. (Ĉiu, Iu) funkcio (tiu, ke, kiu) (mapoj, mapas) al kaj de la kompleksa nombra ebeno havas Aro de Mandelbrot, kiu karakterizas ĉu ĉu ne la Juliina aro (korespondanta, respektiva) al (tiu, ke, kiu) funkcio estas koneksa.

Ekzemplo:

Estu $f c (z) = z 3 + c$ .

Aro de Mandelbrot por z³+c kaj z⁴+c

Por ĉiu valoro de c, ni desegni la Juliina aro $J c$ de $f c (z)$ , kaj difini se ĝi estas koneksa ĉu ne. Se $J c$ estas koneksa, tiam c estas en la Aro de Mandelbrot de { $f c$ }, alie c estas ne en la Aro de Mandelbrot.

Ĉi tiu povas ankaŭ esti ĝeneraligita al Juliinaj aroj parametrigis per pli ol du reelaj nombroj. Ekzemple, kolekto de Juliinaj aroj parametrigita per tri reelaj nombroj estos havi tri dimensia Aro de Mandelbrot. Kompreneble, nur la 2-dimensia (kesto, okazo) estos havi facile vidita bildo.

[redaktu] Aro de Mandelbrot en (kantoj, kantas)

La Aŭstralia bando _GangGajang_ havas kanto Tempo (kaj la Aro de Mandelbrot) kie la (termo, membro, flanko, termino) Aro de Mandelbrot estas uzita (liberale, libere) en la teksto.

La Amerika kantisto _Jonathan_ _Coulton_ havas kanto titolis Mandelbrot-a Aro sur lia _EP_ Kie Tradicio Verigas Morgaŭ pri la historio de la Aro de Mandelbrot, kaj de _Benoit_ Mandelbrot-a sin.

La Blua Vira Grupa unua albumo (Aŭdi(o), Aŭda) (esprimiloj, esprimas) (kurejoj, trakoj, trakas) titolita "_Mandelgroove_", "(Malfermante, Malfermanta) Mandelbrot-a", kaj "Klein-a Mandelbrot-a". La albumo estis nomumita por _Grammy_ en 2000.

[redaktu] Vidi ankaŭ

_Udo_ de Aachen

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Mandelbrot-a kaj Juliinaj aroj _JAVA_ apleto al esplori Mandelbrot-a kaj Juliinaj aroj.
Mandelbrot-a Ara Apleto. Apleto por esploranta la Mandelbrot-a Aro.
La Kaoso _Hypertextbook_. Komencdira aboco sur kaoso kaj (fraktaloj, fraktalas).
_Auto_-koloranta mandelbrot-a esploristo per _Hans_ _Liss_, simpla Ĝava apleto (tiu, ke, kiu) (penas, provas) al (optimigi, optimumigi) la koloranta projekto. Kun fonta kodo.
Mandelbrot-a Esploristo. Neta ĝava apleto per Rubekolo Hu (tiu, ke, kiu) povas desegni _Mandelbrots_ de alta (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas).
Mandelbrot-a Ara Galerio
Mu-_Ency_ - Enciklopedio de la Mandelbrot-a Aro
Respondaro sur la Aro de Mandelbrot
Esplori kaj (Malkovri, Esplori)
Mandelbrot-a Aro kiel TTT-Kliento/Servila solvaĵo
Juliino kaj Mandelbrot-a Ara Esploristo, _CGI_-bazita interfaco kreis per Davido _Joyce_, _Clark_ Universitata profesoro.
La Fraktala Mikroskopo provizas nica Ĝava interfaco ((cifero, figuro) al (ĝusta, dekstra, rajto)).
Detalis aro de Mandelbrot, vidi fundo de paĝo
A galerio de Fraktalaj bildoj kaj (kopioj, kopias) de Fraktalo-esplorantaj programoj.
_Realtime_ Mandelbrot-a Ara Generilo - TTT bazita Mandelbrot-a Ara Esploristo.
Koloro (Biciklado, Ciklanta) sur la Mandelbrot-a Aro je tranĉi-la-nodon
(Ripetoj, Ripetas) kaj la Mandelbrot-a Aro je tranĉi-la-nodon
Mandelbrot-a kaj Juliinaj aroj je tranĉi-la-nodon
_Xaos_, malfermita koda fraktala esploristo kun Mandelbrot-a/Juliina esplorado, alia (fraktaloj, fraktalas), kaj _autopilot_ reĝimo por facila esplorado
_Fract_: libera programaro tTT _zoomer_ por la Mandelbrot-a Aro
La Mandelbrot-a kaj Juliina ara Anatomio
Mandelbrot-a Ara Fraktala Galerio Mandelbrot-aj Araj bildoj kreis kun _Fractint_
teorio de _MSet_
_Juliabrot_ - Interaga videbligo de la rilato inter la Juliino kaj Aro de Mandelbrot

"Spirala Montfendo" farita kun _MandelZot_ kaj suben-specimenis kun _Photoshop_	"Spirala Montfendo" Pli simpla (koloroj, koloras, kolorigas).	"(Insuloj, Insulas) de Konscio" distanca proksimumilo kalkulis aparte.	"Cipreso _Underbrush_" vila _filaments_ kalkulis aparte kiel en antaŭa bildo.
$_Wayne_'s "_Pachifractal_" kun blankaj randoj$ _Wayne_'s "_Pachifractal_" kun blankaj randoj	"Profunda Rao Tordis"	$_Wayne_'s "_Pachifractal_", tre granda$ _Wayne_'s "_Pachifractal_", tre granda	"(Burĝonanta, Butonanta) _Turbines_"