Insieme di Mandelbrot

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Una semplice rappresentazione dell'insieme di Mandelbrot

L'insieme di Mandelbrot è definito come l'insieme dei numeri complessi $c\,\!$ tale per cui non è divergente la successione definita da:

$z_{n+1} = {z_n}^2 + c\,\!$

con

$z_0 = 0\,\!$ .

L'insieme è un frattale e, nonostante la semplicità della definizione, ha una forma non banale. Solo con l'avvento del computer è stato possibile visualizzarla.

L'insieme deve il suo nome a Benoît Mandelbrot che nel 1975 nel suo libro Les Objects Fractals: Forme, Hazard et Dimension rese popolari i frattali. In questo libro Mandelbrot introdusse il termine frattale per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico". Questo genere di fenomeni nasce dalla definizione di curve od insiemi tramite funzioni o algoritmi ricorsivi.

[modifica] Condizione di divergenza

Si può dimostrare che se il modulo di z_n è maggiore di 2 allora la successione divergerà e quindi il punto c esterno all'insieme di Mandelbrot. Il minimo valore di n per cui |z_n| > 2 è un indice di quanto "lontano da bordo" si trova un punto e viene spesso utilizzato per la visualizzazione a colori dell'insieme.

[modifica] Relazione con gli insiemi di Julia

L'insieme di Mandelbrot permette di indicizzare gli insiemi di Julia. Ad ogni punto del piano complesso corrisponde un diverso insieme di Julia; tale insieme è connesso se il punto in questione appartiene all'insieme di Mandelbrot, ed è invece non connesso se il punto non vi appartiene.

Intuitivamente, gli insiemi di Julia più interessanti (ovvero quelli dalle forme meno banali) corrispondono a punti che si trovano vicino al bordo dell'insieme di Mandelbrot, mentre punti molto all'interno generano insiemi di Julia dalle forme geometriche semplici e i punti esterni, lontani dal bordo, generano insiemi di Julia formati da molti piccoli insiemi connessi.